объясни Пошагово пример 4х⁴-9х²+2=0
Давайте решим уравнение \(4x^4 - 9x^2 + 2 = 0\) пошагово и подробно.
Шаг 1: Замена переменной
Это уравнение является многочленом четвёртой степени, но можно упростить его, сделав замену. Обозначим:
\[ y = x^2 \]
Тогда \(x^4\) можно выразить как \(y^2\). Подставляем это в уравнение:
\[ 4y^2 - 9y + 2 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \(ay^2 + by + c = 0\). В нашем случае:
- \(a = 4\)
- \(b = -9\)
- \(c = 2\)
Для нахождения корней квадратного уравнения используем формулу:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Шаг 3: Подставим значения
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 \] \[ D = 81 - 32 = 49 \]
Теперь подставим дискриминант и остальные значения в формулу:
\[ y = \frac{-(-9) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} \] \[ y = \frac{9 \pm 7}{8} \]
Шаг 4: Найдем корни
Теперь найдём два значения для \(y\):
- При использовании знака «плюс»:
\[ y_1 = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2 \]
- При использовании знака «минус»:
\[ y_2 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Таким образом, мы нашли два корня для \(y\): \(y_1 = 2\) и \(y_2 = \frac{1}{4}\).
Шаг 5: Обратная замена
Теперь нам нужно вернуть \(x\) в уравнение. Напомним, что \(y = x^2\).
- Для \(y_1 = 2\):
\[ x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \]
- Для \(y_2 = \frac{1}{4}\):
\[ x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm\frac{1}{2} \]
Шаг 6: Запишите все корни
Итак, все корни исходного уравнения \(4x^4 - 9x^2 + 2 = 0\):
\[ x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = -\frac{1}{2} \]
Ответ
Таким образом, корни уравнения: \(x = \sqrt{2}, -\sqrt{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\).
Если у вас остались вопросы по решению или необходимо дополнительное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!
Обсуждение
2 сообщениябез замены переменной
Хорошо! Давайте решим уравнение \(4x^4 - 9x^2 + 2 = 0\) без замены переменной.
Шаг 1: Определение общего вида
Мы видим, что уравнение является полиномом четвёртой степени. В данном случае можно использовать метод разложения на множители или попытаться найти корни по другим способам.
Шаг 2: Попробуем найти корни
Мы можем использовать метод деления на пробные корни. Начнём с поиска рациональных корней. Попробуем проверить несколько значений \(x\):
Для \(x = 1\) \[ 4(1)^4 - 9(1)^2 + 2 = 4 - 9 + 2 = -3 \quad (\text{не корень}) \]
Для \(x = -1\) \[ 4(-1)^4 - 9(-1)^2 + 2 = 4 - 9 + 2 = -3 \quad (\text{не корень}) \]
Для \(x = 2\) \[ 4(2)^4 - 9(2)^2 + 2 = 4(16) - 9(4) + 2 = 64 - 36 + 2 = 30 \quad (\text{не корень}) \]
Для \(x = -2\) \[ 4(-2)^4 - 9(-2)^2 + 2 = 4(16) - 9(4) + 2 = 64 - 36 + 2 = 30 \quad (\text{не корень}) \]
Для \(x = \frac{1}{2}\) \[ 4\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 9\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 = 4\left(\frac{1}{16}\right) - 9\left(\frac{1}{4}\right) + 2 = \frac{1}{4} - \frac{9}{4} + 2 = \frac{1 - 9 + 8}{4} = 0 \quad (\text{корень}) \]
Для \(x = -\frac{1}{2}\) \[ 4\left(-\frac{1}{2}\right)^4 - 9\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2 = 4\left(\frac{1}{16}\right) - 9\left(\frac{1}{4}\right) + 2 = \frac{1}{4} - \frac{9}{4} + 2 = \frac{1 - 9 + 8}{4} = 0 \quad (\text{корень}) \]
Итак, \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = -\frac{1}{2}\) являются корнями.
Шаг 3: Деление многочлена
Теперь, когда мы нашли два корня, \(x - \frac{1}{2}\) и \(x + \frac{1}{2}\), можно провести деление многочлена \(4x^4 - 9x^2 + 2\) на \( (x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) = x^2 - \frac{1}{4}\).
Шаг 4: Деление многочленов
Чтобы упростить уравнение, воспользуемся делением многочлена. Поделим \(4x^4 - 9x^2 + 2\) на \(x^2 - \frac{1}{4}\).
- Первый шаг: \(4x^4\) делим на \(x^2\):
\[ 4x^2 \]
- Умножим и вычтем:
\[ 4x^2(x^2 - \frac{1}{4}) = 4x^4 - x^2 \]
- Вычтем из оригинального многочлена:
\[ (4x^4 - 9x^2 + 2) - (4x^4 - x^2) = -8x^2 + 2 \]
- Теперь делим \(-8x^2 + 2\) на \(x^2 - \frac{1}{4}\):
\(-8\) будет результатом деления, \( -8(x^2 - \frac{1}{4}) = -8x^2 + 2\).
Теперь мы можем записать многочлен как:
\[ (4x^2 - 8)(x^2 - \frac{1}{4}) = 0 \]
Шаг 5: Найдем корни
Теперь у нас есть два множителя:
- \(x^2 - \frac{1}{4} = 0 \implies x = \frac{1}{2}, \, -\frac{1}{2}\)
- \(4x^2 - 8 = 0 \implies 4x^2 = 8 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}\)
Шаг 6: Итоговые корни
Таким образом, все корни уравнения \(4x^4 - 9x^2 + 2 = 0\):
\[ x = \frac{1}{2}, \, -\frac{1}{2}, \, \sqrt{2}, \, -\sqrt{2} \]
Если у вас есть вопросы или что-то непонятно, дайте знать!
