Объясни Пошагово пример 4х⁴-9х²+2=0

Давайте решим уравнение \(4x^4 - 9x^2 + 2 = 0\) пошагово и подробно. ### Шаг 1: Замена переменной Это уравнение является многочленом четвёртой степени, но можно упростить его, сделав замену. Обозначим: \[ y = x^2 \] Тогда \(x^4\) можно выразить как \(y^2\). Подставляем это в уравнение: \[ 4y^2 - 9y + 2 = 0 \] ### Шаг 2: Решение квадратного уравнения Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \(ay^2 + by + c = 0\). В нашем случае: - \(a = 4\) - \(b = -9\) - \(c = 2\) Для нахождения корней квадратного уравнения используем формулу: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] ### Шаг 3: Подставим значения Сначала вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 \] \[ D = 81 - 32 = 49 \] Теперь подставим дискриминант и остальные значения в формулу: \[ y = \frac{-(-9) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} \] \[ y = \frac{9 \pm 7}{8} \] ### Шаг 4: Найдем корни Теперь найдём два значения для \(y\): 1. При использовании знака «плюс»: \[ y_1 = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2 \] 2. При использовании знака «минус»: \[ y_2 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] Таким образом, мы нашли два корня для \(y\): \(y_1 = 2\) и \(y_2 = \frac{1}{4}\). ### Шаг 5: Обратная замена Теперь нам нужно вернуть \(x\) в уравнение. Напомним, что \(y = x^2\). 1. Для \(y_1 = 2\): \[ x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \] 2. Для \(y_2 = \frac{1}{4}\): \[ x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm\frac{1}{2} \] ### Шаг 6: Запишите все корни Итак, все корни исходного уравнения \(4x^4 - 9x^2 + 2 = 0\): \[ x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = -\frac{1}{2} \] ### Ответ Таким образом, корни уравнения: \(x = \sqrt{2}, -\sqrt{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\). Если у вас остались вопросы по решению или необходимо дополнительное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!