Чтобы найти гипотенузу треугольника ( MNK ) с углом ( \angle M = 90^\circ ) и углом ( \angle N = 45^\circ ), сначала вспомним, что в прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам. Таким образом:
[
\angle K = 180^\circ - \angle M - \angle N = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ
]
Это означает, что треугольник ( MNK ) является равнобедренным треугольником, где два угла равны (оба по ( 45^\circ )), соответственно, стороны, напротив этих углов, равны.
Теперь обозначим стороны треугольника:
- ( MN = 31 \sqrt{2} ) (это одна из катетов),
- ( NK ) (вторая катета),
- ( MK ) (гипотенуза).
Так как углы ( N ) и ( K ) равны по ( 45^\circ ), это означает, что:
[
NK = MN = 31 \sqrt{2}
]
Теперь, чтобы найти гипотенузу ( MK ), воспользуемся теоремой Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где:
- ( c ) — гипотенуза,
- ( a ) и ( b ) — катеты.
Подставим наши значения:
[
MK^2 = MN^2 + NK^2
]
Так как ( MN = NK = 31 \sqrt{2} ):
[
MK^2 = (31 \sqrt{2})^2 + (31 \sqrt{2})^2 = 2 \cdot (31 \sqrt{2})^2
]
Теперь вычислим ( (31 \sqrt{2})^2 ):
[
(31 \sqrt{2})^2 = 31^2 \cdot 2 = 961 \cdot 2 = 1922
]
Следовательно:
[
MK^2 = 2 \cdot 1922 = 3844
]
Теперь найдём гипотенузу ( MK ) путем извлечения квадратного корня:
[
MK = \sqrt{3844} = 62
]
Таким образом, гипотенуза треугольника ( MNK ) равна:
[
\boxed{62}
]
