В треугольнике M N K MNK ∠ M = 90 ° ∠M=90° , ∠ N = 45 ° ∠N=45° , M N = 31 2 MN=31 2 . Чему равна гипотенуза этого треугольника?
Чтобы найти гипотенузу треугольника \( MNK \) с углом \( \angle M = 90^\circ \) и углом \( \angle N = 45^\circ \), сначала вспомним, что в прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам. Таким образом:
\[ \angle K = 180^\circ - \angle M - \angle N = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \]
Это означает, что треугольник \( MNK \) является равнобедренным треугольником, где два угла равны (оба по \( 45^\circ \)), соответственно, стороны, напротив этих углов, равны.
Теперь обозначим стороны треугольника:
- \( MN = 31 \sqrt{2} \) (это одна из катетов),
- \( NK \) (вторая катета),
- \( MK \) (гипотенуза).
Так как углы \( N \) и \( K \) равны по \( 45^\circ \), это означает, что:
\[ NK = MN = 31 \sqrt{2} \]
Теперь, чтобы найти гипотенузу \( MK \), воспользуемся теоремой Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
где:
- \( c \) — гипотенуза,
- \( a \) и \( b \) — катеты.
Подставим наши значения:
\[ MK^2 = MN^2 + NK^2 \]
Так как \( MN = NK = 31 \sqrt{2} \):
\[ MK^2 = (31 \sqrt{2})^2 + (31 \sqrt{2})^2 = 2 \cdot (31 \sqrt{2})^2 \]
Теперь вычислим \( (31 \sqrt{2})^2 \):
\[ (31 \sqrt{2})^2 = 31^2 \cdot 2 = 961 \cdot 2 = 1922 \]
Следовательно:
\[ MK^2 = 2 \cdot 1922 = 3844 \]
Теперь найдём гипотенузу \( MK \) путем извлечения квадратного корня:
\[ MK = \sqrt{3844} = 62 \]
Таким образом, гипотенуза треугольника \( MNK \) равна:
\[ \boxed{62} \]
