-sin²x-cosx-1=0

Решим уравнение \(-\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\). ### Шаг 1: Перепишем уравнение Сначала мы можем умножить всё уравнение на -1, чтобы избавиться от минусов: \[ \sin^2 x + \cos x + 1 = 0 \] ### Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество Напоминаем, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Мы можем выразить \(\sin^2 x\) через \(\cos x\): \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \] Теперь подставим это в уравнение: \[ (1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0 \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Теперь упростим уравнение: \[ 1 - \cos^2 x + \cos x + 1 = 0 \] Соберём все слагаемые: \[ -\cos^2 x + \cos x + 2 = 0 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ \cos^2 x - \cos x - 2 = 0 \] ### Шаг 4: Решение квадратного уравнения Теперь у нас есть квадратное уравнение \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\). Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Следовательно, корни уравнения находятся по формуле: \[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \] ### Шаг 5: Нахождение корней Теперь находим корни: 1. \(\cos x = \frac{1 + 3}{2} = 2\) (это не подходит, так как \(\cos\) не может быть больше 1) 2. \(\cos x = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) ### Шаг 6: Находим \(x\) Теперь решим уравнение \(\cos x = -1\). Это происходит, когда: \[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Ответ Таким образом, общее решение уравнения \(-\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\): \[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Это решение можно записать как \( x = \pi + 2k\pi \), где \( k \) — любое целое число.