-sin²x-cosx-1=0
Решим уравнение \(-\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\).
Шаг 1: Перепишем уравнение
Сначала мы можем умножить всё уравнение на -1, чтобы избавиться от минусов:
\[ \sin^2 x + \cos x + 1 = 0 \]
Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество
Напоминаем, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Мы можем выразить \(\sin^2 x\) через \(\cos x\):
\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \]
Теперь подставим это в уравнение:
\[ (1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Теперь упростим уравнение:
\[ 1 - \cos^2 x + \cos x + 1 = 0 \]
Соберём все слагаемые:
\[ -\cos^2 x + \cos x + 2 = 0 \]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
\[ \cos^2 x - \cos x - 2 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\). Используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
Следовательно, корни уравнения находятся по формуле:
\[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Шаг 5: Нахождение корней
Теперь находим корни:
- \(\cos x = \frac{1 + 3}{2} = 2\) (это не подходит, так как \(\cos\) не может быть больше 1)
- \(\cos x = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
Шаг 6: Находим \(x\)
Теперь решим уравнение \(\cos x = -1\).
Это происходит, когда:
\[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Ответ
Таким образом, общее решение уравнения \(-\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\):
\[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Это решение можно записать как \( x = \pi + 2k\pi \), где \( k \) — любое целое число.
