Реши неравенство x x − 15 ≥ 4 x−15 x ≥4 методом интервалов. Сколько целых чисел содержится в получившемся промежутке?
Для решения неравенства \( \frac{x - 15}{x} \geq 4 \) методом интервалов, давайте начнем с того, чтобы привести его к стандартному виду.
Шаг 1: Преобразуем неравенство
Переносим 4 на левую сторону:
\[ \frac{x - 15}{x} - 4 \geq 0 \]
Теперь найдем общий знаменатель и преобразуем выражение:
\[ \frac{x - 15 - 4x}{x} \geq 0 \]
Сократим выражение в числителе:
\[ \frac{-3x - 15}{x} \geq 0 \]
Это можно переписать как:
\[ \frac{-3(x + 5)}{x} \geq 0 \]
Шаг 2: Определение критических точек
На числитель и знаменатель влияют следующие точки:
- \( -3(x + 5) = 0 \rightarrow x + 5 = 0 \rightarrow x = -5 \)
- \( x = 0 \) (знаменатель не может равняться нулю)
Таким образом, критические точки: \( x = -5 \) и \( x = 0 \).
Шаг 3: Устанавливаем интервалы
Мы разделим числовую прямую на интервалы на основе критических точек:
- \( (-\infty, -5) \)
- \( (-5, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
Шаг 4: Анализ знака на интервалах
Проверим знак выражения \( \frac{-3(x + 5)}{x} \) в каждом интервале:
Для \( (-\infty, -5) \): выберем, например, \( x = -6 \): \[ \frac{-3(-6 + 5)}{-6} = \frac{-3(-1)}{-6} = \frac{3}{6} > 0 \]
Для \( (-5, 0) \): выберем, например, \( x = -1 \): \[ \frac{-3(-1 + 5)}{-1} = \frac{-3(4)}{-1} = 12 > 0 \]
Для \( (0, +\infty) \): выберем, например, \( x = 1 \): \[ \frac{-3(1 + 5)}{1} = \frac{-3(6)}{1} = -18 < 0 \]
Шаг 5: Составляем итоговые интервалы
Неравенство \( \frac{-3(x + 5)}{x} \geq 0 \) выполняется на интервалах:
- \( (-\infty, -5) \)
- \( (-5, 0) \) - но не включает \( 0 \), так как в этот момент делим на 0.
То есть, решение неравенства:
\[ (-\infty, -5) \cup (-5, 0) \]
Шаг 6: Найдем целые числа в промежутке
Рассмотрим два интервала:
- В интервале \( (-\infty, -5) \) находятся целые числа: ..., -7, -6.
- В интервале \( (-5, 0) \) целые числа: -4, -3, -2, -1.
Теперь найдем целые числа:
- Из \( (-\infty, -5) \) можем взять -6, -7, ... (бесконечно много).
- Из \( (-5, 0) \) целые числа: -4, -3, -2, -1 (всего 4 числа).
Таким образом, конечное количество целых чисел находится в \( (-5, 0) \): это 4 числа.
Ответ:
Количество целых чисел в решении неравенства: 4.
