Реши неравенство  x x − 15 ≥ 4 x−15 x ​ ≥4 методом интервалов. Сколько целых чисел содержится в получившемся промежутке?

Для решения неравенства \( \frac{x - 15}{x} \geq 4 \) методом интервалов, давайте начнем с того, чтобы привести его к стандартному виду. ### Шаг 1: Преобразуем неравенство Переносим 4 на левую сторону: \[ \frac{x - 15}{x} - 4 \geq 0 \] Теперь найдем общий знаменатель и преобразуем выражение: \[ \frac{x - 15 - 4x}{x} \geq 0 \] Сократим выражение в числителе: \[ \frac{-3x - 15}{x} \geq 0 \] Это можно переписать как: \[ \frac{-3(x + 5)}{x} \geq 0 \] ### Шаг 2: Определение критических точек На числитель и знаменатель влияют следующие точки: 1. \( -3(x + 5) = 0 \rightarrow x + 5 = 0 \rightarrow x = -5 \) 2. \( x = 0 \) (знаменатель не может равняться нулю) Таким образом, критические точки: \( x = -5 \) и \( x = 0 \). ### Шаг 3: Устанавливаем интервалы Мы разделим числовую прямую на интервалы на основе критических точек: 1. \( (-\infty, -5) \) 2. \( (-5, 0) \) 3. \( (0, +\infty) \) ### Шаг 4: Анализ знака на интервалах Проверим знак выражения \( \frac{-3(x + 5)}{x} \) в каждом интервале: 1. **Для \( (-\infty, -5) \)**: выберем, например, \( x = -6 \): \[ \frac{-3(-6 + 5)}{-6} = \frac{-3(-1)}{-6} = \frac{3}{6} > 0 \] 2. **Для \( (-5, 0) \)**: выберем, например, \( x = -1 \): \[ \frac{-3(-1 + 5)}{-1} = \frac{-3(4)}{-1} = 12 > 0 \] 3. **Для \( (0, +\infty) \)**: выберем, например, \( x = 1 \): \[ \frac{-3(1 + 5)}{1} = \frac{-3(6)}{1} = -18 < 0 \] ### Шаг 5: Составляем итоговые интервалы Неравенство \( \frac{-3(x + 5)}{x} \geq 0 \) выполняется на интервалах: 1. \( (-\infty, -5) \) 2. \( (-5, 0) \) - но не включает \( 0 \), так как в этот момент делим на 0. То есть, решение неравенства: \[ (-\infty, -5) \cup (-5, 0) \] ### Шаг 6: Найдем целые числа в промежутке Рассмотрим два интервала: 1. В интервале \( (-\infty, -5) \) находятся целые числа: ..., -7, -6. 2. В интервале \( (-5, 0) \) целые числа: -4, -3, -2, -1. Теперь найдем целые числа: - Из \( (-\infty, -5) \) можем взять **-6, -7, ...** (бесконечно много). - Из \( (-5, 0) \) целые числа: **-4, -3, -2, -1** (всего 4 числа). Таким образом, конечное количество целых чисел находится в \( (-5, 0) \): это 4 числа. ### Ответ: **Количество целых чисел в решении неравенства: 4.**