Даны два комплексных числа z1=(12+2i) и z2=(3-4i). Найти их сумму, разность, произведение и частность

Для решения данной задачи сначала напомним некоторые основные правила работы с комплексными числами. Комплексное число записывается в форме \( z = a + bi \), где \( a \) — это действительная часть, \( b \) — мнимая часть, а \( i \) — единичный мнимый корень, такой что \( i^2 = -1 \).

Рассмотрим комплексные числа \( z_1 = 12 + 2i \) и \( z_2 = 3 - 4i \). Теперь найдем их сумму, разность, произведение и частное.

1. Сумма \( z_1 + z_2 \)

Сложение комплексных чисел выполняется по аналогии с обычными числами: складываем действительные части и мнимые части.

\[ z_1 + z_2 = (12 + 2i) + (3 - 4i) = (12 + 3) + (2 - 4)i = 15 - 2i \]

2. Разность \( z_1 - z_2 \)

Разность также складывается по аналогичным правилам:

\[ z_1 - z_2 = (12 + 2i) - (3 - 4i) = (12 - 3) + (2 + 4)i = 9 + 6i \]

3. Произведение \( z_1 \cdot z_2 \)

Для произведения комплексных чисел используется дистрибутивный закон:

\[ z_1 \cdot z_2 = (12 + 2i)(3 - 4i) \]

Распишем это выражение:

\[ = 12 \cdot 3 + 12 \cdot (-4i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-4i) \]

Теперь посчитаем по частям:

\[ = 36 - 48i + 6i - 8 i^2 \]

Помним, что \( i^2 = -1 \):

\[ = 36 - 48i + 6i + 8 = 36 + 8 - 48i + 6i = 44 - 42i \]

4. Частное \( \frac{z_1}{z_2} \)

Чтобы найти частное двух комплексных чисел, лучше умножить на сопряженное число:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12 + 2i}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{(12 + 2i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} \]

Сначала считаем знаменатель:

\[ (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25 \]

Теперь считаем числитель:

\[ (12 + 2i)(3 + 4i) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 4i = 36 + 48i + 6i + 8i^2 \]

Опять используем \( i^2 = -1 \):

\[ = 36 + 48i + 6i - 8 = 28 + 54i \]

Теперь подставляем в дробь:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{28 + 54i}{25} = \frac{28}{25} + \frac{54}{25} i \]

Итог

• \( z_1 + z_2 = 15 - 2i \)
• \( z_1 - z_2 = 9 + 6i \)
• \( z_1 \cdot z_2 = 44 - 42i \)
• \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{28}{25} + \frac{54}{25}i \)

Таким образом, мы выполнили все операции с комплексными числами. Если вам нужно что-то еще, пожалуйста, дайте знать!