Даны два комплексных числа z1=(12+2i) и z2=(3-4i). Найти их сумму, разность, произведение и частность

Для решения данной задачи сначала напомним некоторые основные правила работы с комплексными числами. Комплексное число записывается в форме \( z = a + bi \), где \( a \) — это действительная часть, \( b \) — мнимая часть, а \( i \) — единичный мнимый корень, такой что \( i^2 = -1 \). Рассмотрим комплексные числа \( z_1 = 12 + 2i \) и \( z_2 = 3 - 4i \). Теперь найдем их сумму, разность, произведение и частное. ### 1. Сумма \( z_1 + z_2 \) Сложение комплексных чисел выполняется по аналогии с обычными числами: складываем действительные части и мнимые части. \[ z_1 + z_2 = (12 + 2i) + (3 - 4i) = (12 + 3) + (2 - 4)i = 15 - 2i \] ### 2. Разность \( z_1 - z_2 \) Разность также складывается по аналогичным правилам: \[ z_1 - z_2 = (12 + 2i) - (3 - 4i) = (12 - 3) + (2 + 4)i = 9 + 6i \] ### 3. Произведение \( z_1 \cdot z_2 \) Для произведения комплексных чисел используется дистрибутивный закон: \[ z_1 \cdot z_2 = (12 + 2i)(3 - 4i) \] Распишем это выражение: \[ = 12 \cdot 3 + 12 \cdot (-4i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-4i) \] Теперь посчитаем по частям: \[ = 36 - 48i + 6i - 8 i^2 \] Помним, что \( i^2 = -1 \): \[ = 36 - 48i + 6i + 8 = 36 + 8 - 48i + 6i = 44 - 42i \] ### 4. Частное \( \frac{z_1}{z_2} \) Чтобы найти частное двух комплексных чисел, лучше умножить на сопряженное число: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12 + 2i}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{(12 + 2i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} \] Сначала считаем знаменатель: \[ (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25 \] Теперь считаем числитель: \[ (12 + 2i)(3 + 4i) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 4i = 36 + 48i + 6i + 8i^2 \] Опять используем \( i^2 = -1 \): \[ = 36 + 48i + 6i - 8 = 28 + 54i \] Теперь подставляем в дробь: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{28 + 54i}{25} = \frac{28}{25} + \frac{54}{25} i \] ### Итог - \( z_1 + z_2 = 15 - 2i \) - \( z_1 - z_2 = 9 + 6i \) - \( z_1 \cdot z_2 = 44 - 42i \) - \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{28}{25} + \frac{54}{25}i \) Таким образом, мы выполнили все операции с комплексными числами. Если вам нужно что-то еще, пожалуйста, дайте знать!