Диспетчер скорой помощи за час приняла 130 звонков определи вероятность того что в течение следующего часа число звонков превысит 195

Для решения этой задачи мы будем использовать журнал распределения Пуассона, поскольку количество звонков, поступающих в диспетчерскую, можно смоделировать как случайную величину, следуя этому распределению.

Шаги:

1. Определим параметры распределения:
   Мы знаем, что за один час диспетчерская получила в среднем 130 звонков. Это означает, что наш параметр λ (лямбда) равен 130.

2. Запишем формулу для распределения Пуассона:
   Вероятность получения \(k\) событий (в нашем случае звонков) за время \(t\) определяется формулой: \[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \] где \(e\) — основание натурального логарифма (примерно 2.71828), \(λ\) — среднее число событий (в нашем случае звонков), а \(k\) — целое число, представляющее количество событий.

3. Определим, что значит "число звонков превысит 195":
   Нас интересует вероятность того, что количество звонков превысит 195, то есть: \[ P(X > 195) = 1 - P(X \leq 195) \] Для этого нам нужно вычислить вероятность того, что количество звонков будет равно или меньше 195.

4. Нахождение вероятности \(P(X \leq 195)\):
   Это можно сделать, вычисляя сумму вероятностей для всех возможных значений от 0 до 195: \[ P(X \leq 195) = \sum_{k=0}^{195} P(X = k) \] Однако, такой расчет может оказаться трудоемким. На практике, для значительных λ, таких как 130, обычно применяют нормальное приближение для распределения Пуассона.

5. Использование нормального приближения:
   Когда λ велико, распределение Пуассона приближается нормальным распределением с параметрами:

   • Среднее (\(μ\)) = λ = 130
   • Дисперсия (\(σ^2\)) = λ = 130
   • Стандартное отклонение (\(σ\)) = √λ = √130 ≈ 11.4

   Теперь мы можем стандартизировать значение 195: \[ Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{195 - 130}{\sqrt{130}} \approx \frac{65}{11.4} \approx 5.7 \]

6. Использование таблицы Z:
   Теперь, используя стандартное нормальное распределение, нам нужно найти: \[ P(Z > 5.7) \] Поскольку значение Z (5.7) крайне высоко, вероятность для такого Z будет очень маленькой, практически ноль.

7. Вывод:
   Вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 195, очень мала, и в большинстве практических ситуаций можно утверждать, что она близка к нулю.

Таким образом, мы пришли к выводу, что вероятность того, что диспетчерская примет более 195 звонков в следующий час, практически равна нулю.