Найдите сумму всех членов геометрической прогрессии (bn), номера которых кратны 4, но меньше 111, если в₁ = -5, a q = 2.

Чтобы решить задачу, сначала определим элементы геометрической прогрессии и затем найдём сумму членов с определёнными условиями.

Шаг 1: Понимание геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии. Если \( b_1 \) — первый член прогрессии, а \( q \) — знаменатель, то \( n \)-ый член прогрессии можно записать как:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \]

Шаг 2: Определяем параметры

Дано:

• \( b_1 = -5 \)
• \( q = 2 \)

Теперь можем записать n-ый член прогрессии:

\[ b_n = -5 \cdot 2^{(n-1)} \]

Шаг 3: Находим все члены, номера которых кратны 4 и меньше 111

Члены прогрессии с номерами кратными 4 — это \( b_4, b_8, b_{12}, \ldots \)

Подставим n = 4 в формулу:

\[ b_4 = -5 \cdot 2^{(4-1)} = -5 \cdot 2^3 = -5 \cdot 8 = -40 \]

Теперь подставим n = 8:

\[ b_8 = -5 \cdot 2^{(8-1)} = -5 \cdot 2^7 = -5 \cdot 128 = -640 \]

Теперь подставим n = 12:

\[ b_{12} = -5 \cdot 2^{(12-1)} = -5 \cdot 2^{11} = -5 \cdot 2048 = -10240 \]

Мы видим, что \( b_4 = -40 \) и \( b_8 = -640 \) меньше 111, а \( b_{12} = -10240 \) уже гораздо меньше 111.

Шаг 4: Требуется найти сумму всех членов \( b_n \)

Данные члены, удовлетворяющие условиям:

• \( b_4 = -40 \)
• \( b_8 = -640 \)

Теперь найдём их сумму:

\[ S = b_4 + b_8 = -40 + (-640) = -680 \]

Ответ

Сумма всех членов геометрической прогрессии, номера которых кратны 4, но меньше 111, равна \(-680\).