Периметр прямоугольника равен 14см, а его диагональ равна 5см. Найдите стороны прямоугольника

Давайте решим задачу, где необходимо определить длины сторон прямоугольника, зная его периметр и диагональ. **Дано:** - Периметр прямоугольника \( P = 14 \) см. - Диагональ прямоугольника \( d = 5 \) см. **Найти:** - Длины сторон прямоугольника \( a \) и \( b \). **Решение:** 1. **Выразим уравнение для периметра:** \[ P = 2(a + b) \] Подставим известное значение периметра: \[ 2(a + b) = 14 \] Разделим обе части уравнения на 2: \[ a + b = 7 \] 2. **Выразим уравнение для диагонали:** По теореме Пифагора для прямоугольника, диагональ связана со сторонами следующим образом: \[ d^2 = a^2 + b^2 \] Подставим известное значение диагонали: \[ 5^2 = a^2 + b^2 \] То есть: \[ 25 = a^2 + b^2 \] 3. **Решим систему уравнений:** У нас есть две системы: \[ \begin{cases} a + b = 7 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \( b = 7 - a \). Подставим во второе уравнение: \[ a^2 + (7-a)^2 = 25 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \] Упростим: \[ 2a^2 - 14a + 49 = 25 \] Перенесем 25 влево: \[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \] Разделим на 2: \[ a^2 - 7a + 12 = 0 \] 4. **Решим квадратное уравнение:** \[ a^2 - 7a + 12 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \] Найдем корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2} \] Таким образом, \( a = 4 \) или \( a = 3 \). 5. **Найдем соответствующие значения \( b \):** Если \( a = 4 \), то \( b = 7 - 4 = 3 \). Если \( a = 3 \), то \( b = 7 - 3 = 4 \). Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 3 см и 4 см.