Периметр прямоугольника равен 14см, а его диагональ равна 5см. Найдите стороны прямоугольника
Давайте решим задачу, где необходимо определить длины сторон прямоугольника, зная его периметр и диагональ.
Дано:
- Периметр прямоугольника \( P = 14 \) см.
- Диагональ прямоугольника \( d = 5 \) см.
Найти:
- Длины сторон прямоугольника \( a \) и \( b \).
Решение:
Выразим уравнение для периметра:
\[ P = 2(a + b) \]
Подставим известное значение периметра:
\[ 2(a + b) = 14 \]
Разделим обе части уравнения на 2:
\[ a + b = 7 \]
Выразим уравнение для диагонали:
По теореме Пифагора для прямоугольника, диагональ связана со сторонами следующим образом:
\[ d^2 = a^2 + b^2 \]
Подставим известное значение диагонали:
\[ 5^2 = a^2 + b^2 \]
То есть:
\[ 25 = a^2 + b^2 \]
Решим систему уравнений:
У нас есть две системы:
\[ \begin{cases} a + b = 7 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} \]
Из первого уравнения выразим \( b = 7 - a \).
Подставим во второе уравнение:
\[ a^2 + (7-a)^2 = 25 \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \]
Упростим:
\[ 2a^2 - 14a + 49 = 25 \]
Перенесем 25 влево:
\[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \]
Разделим на 2:
\[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
Найдем корни:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2} \]
Таким образом, \( a = 4 \) или \( a = 3 \).
Найдем соответствующие значения \( b \):
Если \( a = 4 \), то \( b = 7 - 4 = 3 \).
Если \( a = 3 \), то \( b = 7 - 3 = 4 \).
Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 3 см и 4 см.
