Стороны оснований правильной усечённой пирамиды равны 4 дм и 2 дм , а боковое ребро равна 2 дм . Найдите высоту и апофему пирамиды

Для решения задачи о правильной усеченной пирамидe, давайте поэтапно разберем, как найти высоту и апофему. ### Шаг 1: Понять, что такое правильная усечённая пирамида Правильная усечённая пирамида имеет две параллельные основания (верхнее и нижнее), которые являются многоугольниками. У нас в задаче основания квадратные с длинами сторон 4 дм (нижнее основание) и 2 дм (верхнее основание). Боковые ребра соединяют вершины верхнего основания с вершинами нижнего основания. ### Шаг 2: Нахождение высоты У usеченная пирамида имеет высоту, проводимую перпендикулярно к основаниям. Для нахождения высоты и апофемы нам необходимо использовать свойства треугольников, образованных боковыми ребрами и высотой. 1. Длина бокового ребра (обозначим его \( l \)) равна 2 дм. 2. Находим разницу между полусуммой оснований. Полусуммы \( R \) и \( r \) основания можно определить как: \[ R = \frac{4 \, \text{дм}}{2} = 2 \, \text{дм} \] \[ r = \frac{2 \, \text{дм}}{2} = 1 \, \text{дм} \] 3. Нахождение разности между радиусами оснований (где радиус — это расстояние от центра к вершине основания) даёт: \[ R - r = 2 \, \text{дм} - 1 \, \text{дм} = 1 \, \text{дм} \] 4. Теперь мы имеем прямоугольный треугольник, в котором: - одна катета равен \( R - r = 1 \, \text{дм} \), - другой катет (высота) обозначим \( h \), - гипотенуза равна боковому ребру \( l = 2 \, \text{дм} \). Используя теорему Пифагора, получаем: \[ h^2 + (R - r)^2 = l^2 \] \[ h^2 + 1^2 = 2^2 \] \[ h^2 + 1 = 4 \] \[ h^2 = 4 - 1 = 3 \] \[ h = \sqrt{3} \approx 1.73 \, \text{дм} \] ### Шаг 3: Нахождение апофемы Апофема \( a \) — это высота боковой грани. Выйдем из прямоугольного треугольника, который формируется из высоты, половины стороны основания и апофемы. 1. Половина бокового ребра основания: \[ \frac{4}{2} = 2 \, \text{дм} \] 2. Используем снова теорему Пифагора для нахождения апофемы: \[ a^2 + (R - r)^2 = l^2 \] Для нахождения апофемы, её можно найти при помощи следующей формулы: \[ a = \sqrt{h^2 + \left( R - r \right)^2} \] Подставляя значения: \[ a = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \, \text{дм} \] ### Ответ: Таким образом, высота \( h \) усеченной пирамиды составляет примерно \( 1.73 \, \text{дм} \), а апофема \( a \) равна \( 2 \, \text{дм} \).