3^2x-4×3^x+3≤0

Чтобы решить неравенство \(3^{2x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 \leq 0\), начнем с подстановки, чтобы упростить выражение. Для этого обозначим \(y = 3^{x}\). Тогда \(3^{2x}\) можно выразить как \(y^2\). Таким образом, неравенство можно переписать следующим образом: \[ y^2 - 4y + 3 \leq 0 \] Теперь мы имеем квадратное неравенство. Для начала найдем корни квадратного уравнения \(y^2 - 4y + 3 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] Дискриминант положительный, следовательно, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Это дает нам следующие корни: \[ y_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2}{2} = 1 \] Теперь мы можем записать неравенство, используя найденные корни: \[ (y - 1)(y - 3) \leq 0 \] Чтобы понять, при каких значениях \(y\) это неравенство будет истинным, определим знаки выражения на интервалах, которые мы получаем из корней \(y = 1\) и \(y = 3\): 1. \(y < 1\) (выражение положительное: \(+\)) 2. \(1 \leq y \leq 3\) (выражение отрицательное: \(-\)) 3. \(y > 3\) (выражение положительное: \(+\)) Неравенство \( (y - 1)(y - 3) \leq 0 \) выполняется на промежутке: \[ 1 \leq y \leq 3 \] Теперь вернемся к замене \(y = 3^{x}\), и выполним обратную замену: \[ 1 \leq 3^{x} \leq 3 \] Эти неравенства можно представить в виде: 1. \(3^{x} \geq 1 \Rightarrow x \geq 0\) (поскольку 3 в степени чего-то больше или равного 0 равно 1) 2. \(3^{x} \leq 3 \Rightarrow x \leq 1\) (поскольку 3 в степени 1 равно 3) Таким образом, объединяя оба условия, получим: \[ 0 \leq x \leq 1 \] Ответ: \(x \in [0, 1]\).