3^2x-4×3^x+3≤0
Чтобы решить неравенство \(3^{2x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 \leq 0\), начнем с подстановки, чтобы упростить выражение. Для этого обозначим \(y = 3^{x}\). Тогда \(3^{2x}\) можно выразить как \(y^2\). Таким образом, неравенство можно переписать следующим образом:
\[ y^2 - 4y + 3 \leq 0 \]
Теперь мы имеем квадратное неравенство. Для начала найдем корни квадратного уравнения \(y^2 - 4y + 3 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Дискриминант положительный, следовательно, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \]
Это дает нам следующие корни:
\[ y_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Теперь мы можем записать неравенство, используя найденные корни:
\[ (y - 1)(y - 3) \leq 0 \]
Чтобы понять, при каких значениях \(y\) это неравенство будет истинным, определим знаки выражения на интервалах, которые мы получаем из корней \(y = 1\) и \(y = 3\):
- \(y < 1\) (выражение положительное: \(+\))
- \(1 \leq y \leq 3\) (выражение отрицательное: \(-\))
- \(y > 3\) (выражение положительное: \(+\))
Неравенство \( (y - 1)(y - 3) \leq 0 \) выполняется на промежутке:
\[ 1 \leq y \leq 3 \]
Теперь вернемся к замене \(y = 3^{x}\), и выполним обратную замену:
\[ 1 \leq 3^{x} \leq 3 \]
Эти неравенства можно представить в виде:
- \(3^{x} \geq 1 \Rightarrow x \geq 0\) (поскольку 3 в степени чего-то больше или равного 0 равно 1)
- \(3^{x} \leq 3 \Rightarrow x \leq 1\) (поскольку 3 в степени 1 равно 3)
Таким образом, объединяя оба условия, получим:
\[ 0 \leq x \leq 1 \]
Ответ: \(x \in [0, 1]\).
