Чтобы найти объем и площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, нужно знать несколько ключевых формул и последовательность действий. Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Дано:
- Сторона основания правильной треугольной призмы ( a = 6 ) см
- Высота призмы ( h = 12 ) см
1. Объем призмы
Формула для объема призмы:
[
V = S_{основания} \cdot h
]
где ( S_{основания} ) — площадь основания призмы, а ( h ) — высота призмы.
1.1 Площадь основания
Так как основание нашей призмы — правильный треугольник, мы можем найти его площадь по формуле:
[
S_{основания} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}
]
Подставим значение:
[
S_{основания} = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2
]
1.2 Объем призмы
Теперь подставим ( S_{основания} ) в формулу для объема:
[
V = 9\sqrt{3} \cdot 12 = 108\sqrt{3} \text{ см}^3
]
2. Площадь полной поверхности призмы
Формула для площади полной поверхности призмы:
[
S_{полная} = 2S_{основания} + P_{боковая}
]
где ( P_{боковая} ) — площадь боковой поверхности.
2.1 Площадь боковой поверхности
Для боковой поверхности призмы используется формула:
[
P_{боковая} = P_{основания} \cdot h
]
где ( P_{основания} ) — периметр основания треугольника.
Вычислим периметр основания:
[
P_{основания} = 3a = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}
]
Теперь найдем площадь боковой поверхности:
[
P_{боковая} = 18 \cdot 12 = 216 \text{ см}^2
]
2.2 Полная площадь поверхности
Теперь подставим все значения в формулу для площади полной поверхности:
[
S_{полная} = 2 \cdot 9\sqrt{3} + 216 = 18\sqrt{3} + 216 \text{ см}^2
]
Итоги:
- Объем призмы: ( 108\sqrt{3} \text{ см}^3 )
- Площадь полной поверхности: ( 18\sqrt{3} + 216 \text{ см}^2 )
Осталось только вычислить приближенные числовые значения, если это требуется:
[
\sqrt{3} \approx 1.732
]
- Объем приближенно: ( 108 \cdot 1.732 \approx 187.416 \text{ см}^3 )
- Площадь полной поверхности приближенно: ( 18 \cdot 1.732 + 216 \approx 31.176 + 216 \approx 247.176 \text{ см}^2 )
Однако окончательные значения:
- Объем призмы: ( 108\sqrt{3} )
- Площадь полной поверхности: ( 18\sqrt{3} + 216 )
Если требуется представить ответы в числовом формате, запишите:
- Объем: 187 (округляя)
- Площадь: 247 (округляя)
