Реши систему неравенства

Чтобы решить систему неравенств, нужно решать каждое неравенство отдельно и затем найти их пересечение.

1) \(\frac{8-x}{4+(1-5x)^2} \geq 0\)

Область допустимых значений (ОДЗ):

Знаменатель \(4+(1-5x)^2\) всегда положителен для всех \(x\), потому что \((1-5x)^2\) ненулевое и всегда неотрицательное, а \(4\) — положительное число. Поэтому ОДЗ: \((-\infty, \infty)\).

Решение:

Числитель должен быть больше или равен нулю: \[ 8-x \geq 0 \]

Преобразуем: \[ x \leq 8 \]

Значения, удовлетворяющие этому неравенству: \[ x \in (-\infty, 8] \]

2) \(3-7x \leq 23-2x\)

Преобразовываем неравенство: \[ 3 - 7x \leq 23 - 2x \]

Переносим все члены с \(x\) в одну сторону и постоянные в другую: \[ -7x + 2x \leq 23 - 3 \]

Собираем: \[ -5x \leq 20 \]

Делим обе части на \(-5\) (не забываем, что символ неравенства меняется на противоположный при делении на отрицательное число): \[ x \geq -4 \]

Значения, удовлетворяющие этому неравенству: \[ x \in [-4, \infty) \]

Пересечение диапазонов

Теперь найдем пересечение решений для обоих неравенств:

1. \( x \in (-\infty, 8] \)
2. \( x \in [-4, \infty) \)

Пересечение: \[ x \in [-4, 8] \]

Таким образом, решением системы неравенств является: \[ x \in [-4, 8] \]