.

Давайте решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 2, \\ \frac{17}{x} + \frac{20}{y} = 18. \end{cases} \]

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую

Из первого уравнения выражаем \( x \):

\[ x = 2 - y \]

Шаг 2: Подставим выражение для \( x \) во второе уравнение

Подставим \( x = 2 - y \) во второе уравнение:

\[ \frac{17}{2 - y} + \frac{20}{y} = 18 \]

Шаг 3: Найдем общий знаменатель и решим полученное уравнение

Общий знаменатель для дробей: \( y(2 - y) \).

Перепишем уравнение:

\[ \frac{17y + 20(2 - y)}{y(2 - y)} = 18 \]

Найдём числитель:

\[ 17y + 40 - 20y = 40 - 3y \]

Таким образом, получаем уравнение:

\[ \frac{40 - 3y}{y(2 - y)} = 18 \]

Шаг 4: Умножим обе части уравнения на знаменатель

\[ 40 - 3y = 18y(2 - y) \]

Раскроем скобки справа:

\[ 40 - 3y = 36y - 18y^2 \]

Шаг 5: Перепишем уравнение в стандартной форме

Соберём всё в одну часть уравнения:

\[ 18y^2 - 39y + 40 = 0 \]

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Используем дискриминант:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 40 \).

\[ D = 1521 - 2880 = -1359 \]

Дискриминант отрицательный, следовательно, решение в данном виде не существует. Проверьте условия задачи на наличие ошибки в рассчитанных числах или знаках.

В данной интерпретации ошибки нетрудно выявить неверные данные при сканировании задачи. Пожалуйста, уточните при необходимости.