Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, что такое площадь боковой поверхности конуса.
Формула для площади боковой поверхности конуса:
[ S_{\text{бок}} = \pi r l ]
где:
- ( S_{\text{бок}} ) — площадь боковой поверхности,
- ( r ) — радиус основания конуса,
- ( l ) — образующая конуса (длина, идущая от вершины до края основания).
Шаг 1: Выразим первоначальную площадь
Предположим, что радиус основания конуса равен ( r ), а образующая остаётся равной ( l ). Таким образом, площадь боковой поверхности первоначального конуса равна:
[ S_{1} = \pi r l ]
Шаг 2: Уменьшение радиуса
Теперь радиус основания уменьшается в 2 раза, то есть новый радиус ( r' ) будет равен:
[ r' = \frac{r}{2} ]
Образующая остается прежней, то есть ( l' = l ).
Теперь вычислим новую площадь боковой поверхности ( S_{2} ):
[ S_{2} = \pi r' l' = \pi \left(\frac{r}{2}\right) l = \pi \frac{r}{2} l = \frac{1}{2} \pi r l ]
Шаг 3: Сравним площади
Теперь сравним площади боковой поверхности:
- Первая площадь: ( S_{1} = \pi r l )
- Вторая площадь: ( S_{2} = \frac{1}{2} \pi r l )
Теперь найдем, во сколько раз уменьшилась площадь:
[ \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\pi r l}{\frac{1}{2} \pi r l} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 ]
Заключение
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса уменьшится в 2 раза, если радиус основания уменьшится в 2 раза, а образующая останется прежней.
