во сколько раз площадь боковой поверхности конуса уменьшится если радиус его основание уменьшится в 2 раза образующая останется такой же

Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, что такое площадь боковой поверхности конуса.

Формула для площади боковой поверхности конуса: \[ S_{\text{бок}} = \pi r l \] где:

• \( S_{\text{бок}} \) — площадь боковой поверхности,
• \( r \) — радиус основания конуса,
• \( l \) — образующая конуса (длина, идущая от вершины до края основания).

Шаг 1: Выразим первоначальную площадь

Предположим, что радиус основания конуса равен \( r \), а образующая остаётся равной \( l \). Таким образом, площадь боковой поверхности первоначального конуса равна: \[ S_{1} = \pi r l \]

Шаг 2: Уменьшение радиуса

Теперь радиус основания уменьшается в 2 раза, то есть новый радиус \( r' \) будет равен: \[ r' = \frac{r}{2} \] Образующая остается прежней, то есть \( l' = l \).

Теперь вычислим новую площадь боковой поверхности \( S_{2} \): \[ S_{2} = \pi r' l' = \pi \left(\frac{r}{2}\right) l = \pi \frac{r}{2} l = \frac{1}{2} \pi r l \]

Шаг 3: Сравним площади

Теперь сравним площади боковой поверхности:

• Первая площадь: \( S_{1} = \pi r l \)
• Вторая площадь: \( S_{2} = \frac{1}{2} \pi r l \)

Теперь найдем, во сколько раз уменьшилась площадь: \[ \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\pi r l}{\frac{1}{2} \pi r l} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

Заключение

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса уменьшится в 2 раза, если радиус основания уменьшится в 2 раза, а образующая останется прежней.