Вычисли сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, если b 1 = 3 b 1 =3 , b 3 = 147 b 3 =147 .
Чтобы вычислить сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, мы сначала найдем первый член и знаменатель прогрессии. ДЛя этого используем известные значения \( b_1 \) и \( b_3 \).
Обозначим параметры:
- \( b_1 = 3 \) — первый член прогрессии.
- \( b_3 = 147 \) — третий член прогрессии.
Запишем формулу для третьего члена геометрической прогрессии: \[ b_3 = b_1 \cdot r^2 \] где \( r \) — знаменатель прогрессии.
Подставим известные значения в формулу: \[ 147 = 3 \cdot r^2 \]
Решим уравнение для \( r \):
- Разделим обе стороны уравнения на 3: \[ r^2 = \frac{147}{3} = 49 \]
- Извлечем квадратный корень: \[ r = 7 \quad (\text{так как } r \text{ может быть только положительным в данной задаче}) \]
Теперь у нас есть первый член и знаменатель:
- \( b_1 = 3 \)
- \( r = 7 \)
Вычислим остальные члены прогрессии:
- Второй член: \[ b_2 = b_1 \cdot r = 3 \cdot 7 = 21 \]
- Третий член (на всякий случай): \[ b_3 = b_2 \cdot r = 21 \cdot 7 = 147 \quad (\text{проверка верна}) \]
- Четвертый член: \[ b_4 = b_3 \cdot r = 147 \cdot 7 = 1029 \]
Теперь можем найти сумму первых четырех членов прогрессии: \[ S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 \] \[ S_4 = 3 + 21 + 147 + 1029 \] \[ S_4 = 3 + 21 = 24 \] \[ S_4 = 24 + 147 = 171 \] \[ S_4 = 171 + 1029 = 1200 \]
Таким образом, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии составляет \( 1200 \).
