Вычисли сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, если b 1 = 3 b 1 =3 , b 3 = 147 b 3 =147 .
Для решения задачи, нам нужно найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, если известны первый член \( b_1 \) и третий член \( b_3 \).
Определим член геометрической прогрессии: В геометрической прогрессии каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на общее отношение прогрессии \( q \). Мы имеем:
- \( b_1 = 3 \)
- \( b_3 = b_1 \cdot q^2 = 3 \cdot q^2 = 147 \)
Найдём общее отношение \( q \): Чтобы найти \( q^2 \), выразим его из уравнения, связанным с \( b_3 \): \[ 3 \cdot q^2 = 147 \] Разделим обе стороны уравнения на 3: \[ q^2 = \frac{147}{3} = 49 \] Теперь найдём \( q \): \[ q = \sqrt{49} = 7 \]
Теперь найдем остальные члены прогрессии: Мы уже знаем первый и третий члены прогрессии:
- \( b_1 = 3 \)
- \( b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot 7 = 21 \)
- \( b_3 = 147 \) (уже известен)
- \( b_4 = b_3 \cdot q = 147 \cdot 7 = 1029 \)
Вычислим сумму первых четырёх членов: Теперь, когда все первые четыре члена прогрессии известны:
- \( b_1 = 3 \)
- \( b_2 = 21 \)
- \( b_3 = 147 \)
- \( b_4 = 1029 \)
Сумма первых четырёх членов: \[ S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 3 + 21 + 147 + 1029 \]
Посчитаем сумму: \( S_4 = 3 + 21 = 24 \)
\( S_4 = 24 + 147 = 171 \)
\( S_4 = 171 + 1029 = 1200 \)
Таким образом, сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна \( 1200 \).
