Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C — прямой, AB — гипотенуза, а высота из вершины C на гипотенузу AB равна 6 см. Пусть две части, на которые высота делит гипотенузу, будут равны (x) см и (x + 5) см.
Согласно свойству высоты в прямоугольном треугольнике, выполнено следующее равенство:
[
h^2 = m \cdot n,
]
где (h) — высота, а (m) и (n) — отрезки гипотенузы, на которые высота делит гипотенузу.
Таким образом, подставляем значение высоты (h = 6) см, (m = x) и (n = x + 5):
[
6^2 = x (x + 5).
]
Решим это уравнение:
[
36 = x^2 + 5x.
]
Переносим все в одну часть уравнения:
[
x^2 + 5x - 36 = 0.
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169.
]
Теперь находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 13}{2}.
]
Это дает нам два решения:
- (x_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4) см;
- (x_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9) см (отрицательное значение не имеет смысла в данной задаче).
Таким образом, (x = 4) см, тогда второй отрезок:
[
x + 5 = 4 + 5 = 9 \text{ см}.
]
Теперь мы знаем, что гипотенуза AB равна:
[
AB = x + (x + 5) = 4 + 9 = 13 \text{ см}.
]
Теперь можем найти длины катетов. Обозначим катеты как (a) и (b):
Согласно теореме Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2,
]
где (c) — гипотенуза. Мы также знаем, что (h) = 6 см, и можем воспользоваться формулой для нахождения катетов через высоту и отрезки на гипотенузе:
[
a = \frac{h \cdot n}{c} = \frac{6 \cdot 9}{13},
]
[
b = \frac{h \cdot m}{c} = \frac{6 \cdot 4}{13}.
]
Теперь рассчитаем:
[
a = \frac{54}{13} \approx 4.15 \text{ см},
]
[
b = \frac{24}{13} \approx 1.85 \text{ см}.
]
Таким образом, стороны прямоугольного треугольника равны:
- Один катет (a \approx 4.15 \text{ см}),
- Другой катет (b \approx 1.85 \text{ см}),
- Гипотенуза (c = 13 \text{ см}).
