√(32) * cos^2 ((13pi)/8) - √(8)

Чтобы решить задачу \( \sqrt{32} \cdot \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) - \sqrt{8} \), давайте пройдемся по каждому шагу. ### Шаг 1: Упростим \( \sqrt{32} \) и \( \sqrt{8} \) 1. **Упрощение \( \sqrt{32} \)**: \[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \] 2. **Упрощение \( \sqrt{8} \)**: \[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] Теперь мы можем записать начальное выражение как: \[ 4\sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) - 2\sqrt{2} \] ### Шаг 2: Вынесем \( \sqrt{2} \) за скобки Обработаем выражение, выделив общий множитель \( \sqrt{2} \): \[ = \sqrt{2} \cdot (4 \cdot \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) - 2) \] ### Шаг 3: Найдем значение \( \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) \) Чтобы вычислить \( \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) \), запомним, что \( \frac{13\pi}{8} \) находится в третьем квадранте: - В третьем квадранте косинус отрицательный, и \( \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{13\pi}{8} - \pi\right) = -\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) \) Найдем \( \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) \): \[ \frac{5\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8} \] Поэтому: \[ \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \] Теперь используя формулу синуса, получаем: \[ \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \] Но эта тригонометрическая функция требует вычисления. Для простоты предположим: \[ \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \] Тогда: \[ \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \] ### Шаг 4: Вычислим \( \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) \) Теперь найдем квадрат: \[ \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\right)^2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \] ### Шаг 5: Подставим значение в исходное выражение Подставив это значение обратно: \[ 4\cdot \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) = 4 \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4} = 2 - \sqrt{2} \] Теперь завершаем выражение: \[ \sqrt{2} \cdot (2 - \sqrt{2} - 2) = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -2 \] ### Ответ В итоге получаем значение: \[ \boxed{-2} \]