√(32) * cos^2 ((13pi)/8) - √(8)

Чтобы решить задачу \( \sqrt{32} \cdot \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) - \sqrt{8} \), давайте пройдемся по каждому шагу.

Шаг 1: Упростим \( \sqrt{32} \) и \( \sqrt{8} \)

1. Упрощение \( \sqrt{32} \): \[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \]

2. Упрощение \( \sqrt{8} \): \[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]

Теперь мы можем записать начальное выражение как: \[ 4\sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) - 2\sqrt{2} \]

Шаг 2: Вынесем \( \sqrt{2} \) за скобки

Обработаем выражение, выделив общий множитель \( \sqrt{2} \): \[ = \sqrt{2} \cdot (4 \cdot \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) - 2) \]

Шаг 3: Найдем значение \( \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) \)

Чтобы вычислить \( \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) \), запомним, что \( \frac{13\pi}{8} \) находится в третьем квадранте:

• В третьем квадранте косинус отрицательный, и \( \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{13\pi}{8} - \pi\right) = -\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) \)

Найдем \( \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) \): \[ \frac{5\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8} \] Поэтому: \[ \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) \]

Теперь используя формулу синуса, получаем: \[ \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \]

Но эта тригонометрическая функция требует вычисления. Для простоты предположим: \[ \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \]

Тогда: \[ \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \]

Шаг 4: Вычислим \( \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) \)

Теперь найдем квадрат: \[ \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\right)^2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \]

Шаг 5: Подставим значение в исходное выражение

Подставив это значение обратно: \[ 4\cdot \cos^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) = 4 \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4} = 2 - \sqrt{2} \]

Теперь завершаем выражение: \[ \sqrt{2} \cdot (2 - \sqrt{2} - 2) = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -2 \]

Ответ

В итоге получаем значение: \[ \boxed{-2} \]