В сосуд, в котором налито две жидкости — ртуть и вода, опускают металлический цилиндр. При этом 0,7 высоты цилиндра располагаются во ртути, 0,3 — в воде. Какую плотность имеет…
В сосуд, в котором налито две жидкости — ртуть и вода, опускают металлический цилиндр. При этом 0,7 высоты цилиндра располагаются во ртути, 0,3 — в воде. Какую плотность имеет металл? Ответ выразите в СИ, округлив до целого числа.
Чтобы решить задачу, давайте используем принцип Архимеда и уравновешивающее состояние сил.
Дано:
- Высота цилиндра в ртути \( h_{Hg} = 0.7H \) (где \( H \) - полная высота цилиндра).
- Высота цилиндра в воде \( h_{H2O} = 0.3H \).
- Плотность ртути \( \rho_{Hg} \approx 13600 \, \text{кг/м}^3 \).
- Плотность воды \( \rho_{H2O} \approx 1000 \, \text{кг/м}^3 \).
- Плотность металла \( \rho_{metal} \) - это то, что нам нужно найти.
Шаги решения:
Сила, действующая со стороны ртути: Сила, действующая на цилиндр со стороны ртути (потолочной), создается за счет выталкивания ртути, что можно выразить так: \[ F_{Hg} = V_{Hg} \cdot \rho_{Hg} \cdot g \] Где:
- \( V_{Hg} \) - объем цилиндра, погруженный в ртуть = \( A \cdot h_{Hg} = A \cdot 0.7H \) (где \( A \) - площадь основания цилиндра),
- \( g \) - ускорение свободного падения, которое мы можем принять равным \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \).
Подставим: \[ F_{Hg} = A \cdot 0.7H \cdot \rho_{Hg} \cdot g \]
Сила, действующая со стороны воды: Аналогично, сила со стороны воды: \[ F_{H2O} = V_{H2O} \cdot \rho_{H2O} \cdot g = A \cdot 0.3H \cdot \rho_{H2O} \cdot g \]
Сила тяжести металлического цилиндра: Сила тяжести цилиндра: \[ F_{metal} = V_{metal} \cdot \rho_{metal} \cdot g = A \cdot H \cdot \rho_{metal} \cdot g \]
Состояние равновесия: При равновесии общий подъем со стороны ртути и воды равен весу металлического цилиндра: \[ F_{Hg} + F_{H2O} = F_{metal} \] Подставим выражения: \[ A \cdot 0.7H \cdot \rho_{Hg} \cdot g + A \cdot 0.3H \cdot \rho_{H2O} \cdot g = A \cdot H \cdot \rho_{metal} \cdot g \]
Сокращаем общие множители: Можно сократить \( A \) и \( g \): \[ 0.7H \cdot \rho_{Hg} + 0.3H \cdot \rho_{H2O} = H \cdot \rho_{metal} \] Делим на \( H \): \[ 0.7 \cdot \rho_{Hg} + 0.3 \cdot \rho_{H2O} = \rho_{metal} \]
Подставим значения плотностей: \[ \rho_{metal} = 0.7 \cdot 13600 + 0.3 \cdot 1000 \] Рассчитаем: \[ \rho_{metal} = 9520 + 300 = 9820 \, \text{кг/м}^3 \]
Окончательный ответ:
Плотность металла составляет примерно \( 9820 \, \text{кг/м}^3 \). Ответ нужно округлить до целого числа, поэтому: \[ \rho_{metal} \approx 9820 \, \text{кг/м}^3 \]
