Катер отправился в путь из пункта A A в 12 : 00 12:00 и по течению реки до пункта B B прошёл 80 80 км. Повернув обратно, он прошёл ещё 99 99 км и завершил путешествие в пункте C C…

Для решения задачи нам нужно определить собственную скорость катера на основе его пути и времени, за которое он его прошел.

1. Данные задачи:

   • Время отправления из пункта A: 12:00.
   • Путь до пункта B: 80 км по течению реки.
   • Путь обратно в пункт C: 99 км против течения реки.
   • Время прибытия в пункт C: 19:00.
   • Скорость течения реки: 5 км/ч.

2. Определим общее время путешествия:

   • Время отправления: 12:00
   • Время прибытия: 19:00
   • Общее время в пути = 19:00 - 12:00 = 7 часов.

3. Разделим путь на две части:

   • Путь от A до B (80 км) и путь от B до C (99 км).
   • Поскольку катер движется по течению реки до B, его скорость в этом случае равна: \[ V_{\text{по течению}} = V_{\text{катера}} + V_{\text{течения}} \]
   • Обратно, против течения: \[ V_{\text{против течения}} = V_{\text{катера}} - V_{\text{течения}} \]

4. Обозначим собственную скорость катера как V:

   • По течению (в пути A-B): \( V + 5 \) км/ч.
   • Против течения (в пути B-C): \( V - 5 \) км/ч.

5. Время движения до B и обратно в C:

   • Время в пути от A до B: \[ t_1 = \frac{80}{V + 5} \]
   • Время в пути от B до C: \[ t_2 = \frac{99}{V - 5} \]

6. Составим уравнение для общего времени:

   • Общее время: \[ t_1 + t_2 = 7 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{80}{V + 5} + \frac{99}{V - 5} = 7 \]

7. Умножим обе стороны на (V + 5)(V - 5), чтобы избавиться от дробей: \[ 80(V - 5) + 99(V + 5) = 7(V^2 - 25) \]

8. Раскроем скобки: \[ 80V - 400 + 99V + 495 = 7V^2 - 175 \] Объединим подобные: \[ 179V + 95 = 7V^2 - 175 \] Переместим все в одну сторону: \[ 7V^2 - 179V - 270 = 0 \]

9. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-179)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-270) \] \[ D = 32041 + 7560 = 39601 \] Теперь вычислим корни: \[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{179 \pm \sqrt{39601}}{14} \]

   Найдем \(\sqrt{39601} = 199\): \[ V = \frac{179 \pm 199}{14} \] Получаем два решения: \[ V_1 = \frac{378}{14} = 27 \quad \text{и} \quad V_2 = \frac{-20}{14} \quad (\text{отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной}) \]

10. Итак, собственная скорость катера: \[ V = 27 \text{ км/ч} \]

Таким образом, собственная скорость катера составляет 27 км/ч.