Катер отправился в путь из пункта  A A в  12 : 00 12:00 и по течению реки до пункта  B B прошёл  80 80 км. Повернув обратно, он прошёл ещё  99 99 км и завершил путешествие в пункте  C C в  19 : 00 19:00. Найди собственную скорость катера, если скорость течения реки равна  5 5 км/ч.

Для решения задачи нам нужно определить собственную скорость катера на основе его пути и времени, за которое он его прошел. 1. **Данные задачи:** - Время отправления из пункта A: 12:00. - Путь до пункта B: 80 км по течению реки. - Путь обратно в пункт C: 99 км против течения реки. - Время прибытия в пункт C: 19:00. - Скорость течения реки: 5 км/ч. 2. **Определим общее время путешествия:** - Время отправления: 12:00 - Время прибытия: 19:00 - Общее время в пути = 19:00 - 12:00 = 7 часов. 3. **Разделим путь на две части:** - Путь от A до B (80 км) и путь от B до C (99 км). - Поскольку катер движется по течению реки до B, его скорость в этом случае равна: \[ V_{\text{по течению}} = V_{\text{катера}} + V_{\text{течения}} \] - Обратно, против течения: \[ V_{\text{против течения}} = V_{\text{катера}} - V_{\text{течения}} \] 4. **Обозначим собственную скорость катера как V:** - По течению (в пути A-B): \( V + 5 \) км/ч. - Против течения (в пути B-C): \( V - 5 \) км/ч. 5. **Время движения до B и обратно в C:** - Время в пути от A до B: \[ t_1 = \frac{80}{V + 5} \] - Время в пути от B до C: \[ t_2 = \frac{99}{V - 5} \] 6. **Составим уравнение для общего времени:** - Общее время: \[ t_1 + t_2 = 7 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{80}{V + 5} + \frac{99}{V - 5} = 7 \] 7. **Умножим обе стороны на (V + 5)(V - 5), чтобы избавиться от дробей:** \[ 80(V - 5) + 99(V + 5) = 7(V^2 - 25) \] 8. **Раскроем скобки:** \[ 80V - 400 + 99V + 495 = 7V^2 - 175 \] Объединим подобные: \[ 179V + 95 = 7V^2 - 175 \] Переместим все в одну сторону: \[ 7V^2 - 179V - 270 = 0 \] 9. **Решим квадратное уравнение:** Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-179)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-270) \] \[ D = 32041 + 7560 = 39601 \] Теперь вычислим корни: \[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{179 \pm \sqrt{39601}}{14} \] Найдем \(\sqrt{39601} = 199\): \[ V = \frac{179 \pm 199}{14} \] Получаем два решения: \[ V_1 = \frac{378}{14} = 27 \quad \text{и} \quad V_2 = \frac{-20}{14} \quad (\text{отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной}) \] 10. **Итак, собственная скорость катера:** \[ V = 27 \text{ км/ч} \] Таким образом, собственная скорость катера составляет 27 км/ч.