Саша написал на доске все числа от 1 до 100. а) Сколько раз он написал цифру 2? б) Петя во всех двузначных числах, оканчивающихся на 2, стер последнюю цифру и написал вместо нее…
Саша написал на доске все числа от 1 до 100. а) Сколько раз он написал цифру 2? б) Петя во всех двузначных числах, оканчивающихся на 2, стер последнюю цифру и написал вместо нее цифру 3. Как изменится сумма чисел, записанных на доске? 6. Аня, Боря, Вера и Галя съели 37 конфет. Все они съели разное число конфет, причем каждый съел хотя бы 1 конфету. Аня и Боря вместе съели 23 конфеты, Вера съела больше всех конфет. Сколько конфет съела Галя?
Давайте разберём вашу задачу по частям.
Задача 1: Цифра 2
а) Сколько раз он написал цифру 2?
Мы должны выяснить, сколько раз цифра 2 появляется в числах от 1 до 100. Для этого рассмотрим два случая: единицы и десятки.
Единицы: В диапазоне от 1 до 100 единицы могут принимать следующие значения: 1, 2, 3, ..., 9, 0. То есть, в каждом десятке от 0 до 9, 10 до 19 и так далее (вплоть до 90 до 99) цифра 2 встречается 1 раз.
Таким образом, цифра 2 находится в:
- 2
- 12
- 22
- 32
- 42
- 52
- 62
- 72
- 82
- 92
Это 10 раз.
Десятки: В диапазоне от 1 до 99 десятки могут принимать значения 0, 1, 2, ..., 9. Цифра 2 в десятках появляется в диапазоне 20 до 29. Все числа от 20 до 29 включительно содержат цифру 2 в разряде десятков. Это 10 раз (20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29).
Теперь складываем количество раз, когда появляется цифра 2:
- В единицах: 10 раз
- В десятках: 10 раз
Итого: 10 + 10 = 20 раз.
Ответ: 20 раз.
б) Как изменится сумма чисел, записанных на доске?
Рассмотрим все двузначные числа, которые заканчиваются на цифру 2. Это следующие числа:
- 12
- 22
- 32
- 42
- 52
- 62
- 72
- 82
- 92
Теперь найдем сумму этих чисел:
\[ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 = 12 + 22 = 34 \\ 34 + 32 = 66 \\ 66 + 42 = 108 \\ 108 + 52 = 160 \\ 160 + 62 = 222 \\ 222 + 72 = 294 \\ 294 + 82 = 376 \\ 376 + 92 = 468 \]
Сумма чисел, оканчивающихся на 2, равна 468.
Теперь мы должны рассмотреть, как изменится эта сумма, если вместо 2 мы поставим 3. Поэтому изменяем каждое из этих чисел, заменив 2 на 3:
- 13
- 23
- 33
- 43
- 53
- 63
- 73
- 83
- 93
Сосчитаем новую сумму:
\[ 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 = 13 + 23 = 36 \\ 36 + 33 = 69 \\ 69 + 43 = 112 \\ 112 + 53 = 165 \\ 165 + 63 = 228 \\ 228 + 73 = 301 \\ 301 + 83 = 384 \\ 384 + 93 = 477 \]
Сумма новых чисел равна 477.
Теперь определим, как изменилась сумма:
\[ 477 - 468 = 9 \]
Ответ: Сумма увеличится на 9.
Задача 2: Конфеты
У нас есть 4 человека: Аня, Боря, Вера и Галя. Нам даны следующие условия:
- Все они съели 37 конфет.
- Каждый съел разное количество конфет.
- Аня и Боря вместе съели 23 конфеты.
- Вера съела больше всех конфет.
Обозначим количество конфет, съеденных каждым из участников:
- \( a \): конфеты Ани,
- \( b \): конфеты Бори,
- \( c \): конфеты Веры,
- \( g \): конфеты Гали.
Согласно условиям:
- \( a + b + c + g = 37 \)
- \( a + b = 23 \)
- \( c > a, b, g \)
Подставляем \( a + b = 23 \) в первое уравнение: \[ 23 + c + g = 37 \\ c + g = 14 \tag{1} \]
Так как \( c \) больше, чем все остальные, можно предположить, что \( c \) будет больше 8 (иначе Галя ожидала бы 6 конфет, и они были бы одинаковыми). Попробуем взять наибольшие возможные значения.
Если \( c = 9 \), тогда \( g = 5 \):
- Возможные значения: \( a = 11, b = 12 \), но они не различны в том, что \( a + b \) стало бы 23, а \( g = 5 \).
Разделим на возможные комбинации:
Пробуем \( c = 10 \):
- Тогда... \( g = 4 \)
- И в конце, \( 13, 10, 6, и 4\).
Они должны иметь разное количество конфет:
После подсчета, мы видим, что: \( a = 11, b = 12, c = 10, g = 4\).
Таким образом, мы можем сказать что ответ: Галя съела 4 конфеты.
