Напечатай правильный ответ. Исполнитель Чертежник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду «сместиться в точку (а,…
Напечатай правильный ответ. Исполнитель Чертежник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду «сместиться в точку (а, 6)», где а, 6 - целые числа. Эта команда перемещает Чертёжника из точки с координатами (х, у) в точку с координатами (х + а ; у + 6). Например, если Чертёжник находится в точке с координатами (4, 2), то команда «сместиться на вектор (2, - 3)» переместит Чертёжника в точку ( 6, - 1). Цикл ПОВТОРИ ЧИСЛО РАЗ последовательность команд КОНЕЦ ПОВТОРИ означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм. ПОВТОРИ 12 РАЗ сместиться на (10,10)сместиться на (3, - 6) сместиться на (-9,3) КОНЕЦ ПОВТОРИ Определи, сколько различных точек с целочисленными координатами принадлежит траектории Чертежника, считая начальную и конечную точки, если исполнитель стартует в точке с целочисленными координатами.
Для решения задачи, начнём с анализа того, как алгоритм будет влиять на положение Чертёжника на координатной плоскости.
Шаг 1: Анализ команд и перемещений
Чертёжник выполняет следующий цикл команд 12 раз:
- Сместиться на (10, 10)
- Сместиться на (3, -6)
- Сместиться на (-9, 3)
Теперь найдем суммарное изменение координат после выполнения всех команд один раз.
Первая команда:
- Движение по x: +10
- Движение по y: +10
Вторая команда:
- Движение по x: +3
- Движение по y: -6
Третья команда:
- Движение по x: -9
- Движение по y: +3
Теперь суммируем все изменения координат за один цикл (один раз):
Шаг 2: Вычислим общее смещение в одной итерации
Вдоль оси x: \[ 10 + 3 - 9 = 4 \]
Вдоль оси y: \[ 10 - 6 + 3 = 7 \]
Итак, после одного полного цикла (всех трёх команд) Чертёжник смещается на (4, 7).
Шаг 3: Общее смещение после всех итераций
Теперь вычислим общее смещение после выполнения всего алгоритма 12 раз. Умножим смещение на количество повторений:
Значит, после 12 повторений смещение будет:
\[ (4 \times 12, 7 \times 12) = (48, 84) \]
Шаг 4: Определим перемещения на траектории
Теперь важно отметить, что Чертёжник начинает с некоторой точки \((x_0, y_0)\), и эта точка будет меняться на каждом шаге. Сформируем последовательность перемещений:
- Изначальная точка: \((x_0, y_0)\)
- После первой команды: \((x_0 + 10, y_0 + 10)\)
- После второй команды: \((x_0 + 10 + 3, y_0 + 10 - 6) = (x_0 + 13, y_0 + 4)\)
- После третьей команды: \((x_0 + 13 - 9, y_0 + 4 + 3) = (x_0 + 4, y_0 + 7)\)
Каждый раз после выполнения этих команд Чертёжник меняет своё положение. Давайте посмотрим как будут выглядеть все точки за весь цикл:
- После 1-го цикла: \((x_0 + 4, y_0 + 7)\)
- После 2-го цикла (повторяем все перемещения): \((x_0 + 8, y_0 + 14)\)
- ...
- После 12-го цикла: \((x_0 + 48, y_0 + 84)\)
Шаг 5: Все точки на траектории
Каждый раз изменения по x составляют \(4n\) (где \(n\) - номер итерации от 0 до 12) и по y составляют \(7n\).
Таким образом, все промежуточные точки следуют формуле:
\[ (x_0 + 4n, y_0 + 7n) \]
где \(n = 0, 1, 2, \ldots, 12\).
Шаг 6: Подсчёт уникальных точек
- Значения x принимают 13 различных значений: \(x_0, x_0 + 4, x_0 + 8, \ldots, x_0 + 48\) - это 13 точек.
- Значения y принимают тоже 13 различных значений: \(y_0, y_0 + 7, y_0 + 14, \ldots, y_0 + 84\) - это также 13 точек.
Шаг 7: Находим общее количество уникальных целочисленных точек
Так как y изменяется параллельно с x, и 4 и 7 являются взаимнопервосочетающими (не имеют общих делителей кроме 1), все пары \((4n, 7n)\) будут уникальными. Следовательно, общее количество уникальных целочисленных точек:
\[ 13 \times 13 = 169 \]
Ответ
Таким образом, на траектории Чертёжника будет 169 различных точек с целочисленными координатами.
