Для решения данной задачи используем принцип сохранения энергии, предполагая, что тепло, переданное горячей водой, будет равно теплу, полученному холодной водой. Обозначим переменные:
- ( m_1 ) — масса горячей воды,
- ( T_1 ) — температура горячей воды (в данном случае 100°C),
- ( m_2 ) — масса холодной воды,
- ( T_2 ) — температура холодной воды (25°C),
- ( T_f ) — конечная температура смеси.
Вода имеет одинаковую теплоемкость, поэтому мы можем заключить:
[
m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_f) = m_2 \cdot c \cdot (T_f - T_2)
]
Здесь ( c ) — теплоемкость воды, которая сокращается с обеих сторон уравнения. Поэтому упростим уравнение:
[
m_1 \cdot (T_1 - T_f) = m_2 \cdot (T_f - T_2)
]
Теперь нам нужно выразить массы ( m_1 ) и ( m_2 ).
Пусть стакан вмещает в себя 1 литр (это 1000 мл) воды. Так как горячая вода занимает 2/3 стакана, то:
[
m_1 = \frac{2}{3} \cdot 1000 , \text{мл} = \frac{2000}{3} , \text{г}
]
(1 мл воды примерно соответствует 1 г)
Значит, оставшаяся часть стакана, которую заполнили холодной водой, составляет 1/3 стакана:
[
m_2 = \frac{1}{3} \cdot 1000 , \text{мл} = \frac{1000}{3} , \text{г}
]
Теперь подставим известные значения в уравнение:
[
\frac{2000}{3} \cdot (100 - T_f) = \frac{1000}{3} \cdot (T_f - 25)
]
Упростим уравнение и уберем (\frac{1}{3}) с обеих сторон:
[
2000 \cdot (100 - T_f) = 1000 \cdot (T_f - 25)
]
Теперь умножим и раскроем скобки:
[
200000 - 2000 T_f = 1000 T_f - 25000
]
Соберем все ( T_f ) в одной части равенства и постоянные в другой:
[
200000 + 25000 = 1000 T_f + 2000 T_f
]
Это можно упростить до:
[
225000 = 3000 T_f
]
Разделим обе стороны на 3000:
[
T_f = \frac{225000}{3000} = 75
]
Итак, окончательная температура воды в стакане будет:
[
\boxed{75} , \text{°C}
]
Таким образом, в стакане установится температура воды, равная 75°C.
