Чтобы найти площадь поверхности прямой треугольной призмы, нам нужно рассмотреть несколько компонентов:
- Площадь основания (прямоугольного треугольника).
- Площадь боковых граней (параллелограммов).
Шаг 1: Находим площадь основания
Основание призмы - это прямоугольный треугольник с катетами 7 и 24. Площадь треугольника вычисляется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
]
В данном случае основание и высота - это катеты треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \times 7 \times 24
]
Теперь вычислим:
[
S = \frac{1}{2} \times 168 = 84
]
Таким образом, площадь основания равна 84 квадратных единицы.
Шаг 2: Находим площадь боковых граней
Прямая треугольная призма имеет три боковые грани, каждая из которых является четырёхугольником (параллелограммом).
Первая боковая грань: Это прямоугольник с высотой призмы (15) и одним из катетов (7).
[
S_1 = \text{катет}_1 \times \text{высота} = 7 \times 15 = 105
]
Вторая боковая грань: Это прямоугольник с высотой призмы (15) и другим катетом (24).
[
S_2 = \text{катет}_2 \times \text{высота} = 24 \times 15 = 360
]
Третья боковая грань: Это гипотенуза прямоугольного треугольника. Найдём её длину по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25
]
Площадь этой боковой грани также является прямоугольником, равным высоте призмы (15) умноженной на длину гипотенузы (25):
[
S_3 = \text{гипотенуза} \times \text{высота} = 25 \times 15 = 375
]
Шаг 3: Находим общую площадь поверхности
Теперь мы можем сложить площади всех граней, чтобы получить общую площадь поверхности призмы.
[
S_{\text{поверхности}} = 2 \times S_{\text{основание}} + S_1 + S_2 + S_3
]
[
S_{\text{поверхности}} = 2 \times 84 + 105 + 360 + 375
]
[
S_{\text{поверхности}} = 168 + 105 + 360 + 375
]
[
S_{\text{поверхности}} = 1008
]
Таким образом, площадь поверхности прямой треугольной призмы составляет 1008 квадратных единиц.
