В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минуты. Ответ…

Решим каждую из задач по очереди, начиная с первой.

Задача 1:

Условие: В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минуты.

Решение:

1. Найдем, сколько раз произойдет распад в течение 63 минут: \[ \text{Общее время} = 63 \, \text{минуты} \] \[ \text{Период полураспада} = 9 \, \text{минут} \] \[ \text{Количество периодов} = \frac{63}{9} = 7 \]

2. Каждый раз масса уменьшается вдвое, то есть: \[ \text{Масса через } n \text{ периодов} = \text{Начальная масса} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \] Подставим значения: \[ \text{Масса через 7 периодов} = 320 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 \]

3. Рассчитаем: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{1}{128} \] \[ \text{Масса} = 320 \cdot \frac{1}{128} = \frac{320}{128} = 2.5 \, \text{мг} \]

Ответ: Масса изотопа через 63 минуты составит 2.5 мг.

Задача 2:

Условие: Мощности пяти различных электромоторов составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Мощность самого слабого электромотора 5 кВт, а третьего по мощности 20 кВт. Найдите мощность самого мощного электромотора.

Решение:

1. Пусть \( a \) - мощность самого слабого электромотора (5 кВт), а \( r \) - знаменатель геометрической прогрессии. Мощности электромоторов будут:

   • 1-й: \( a \)
   • 2-й: \( ar \)
   • 3-й: \( ar^2 \)
   • 4-й: \( ar^3 \)
   • 5-й: \( ar^4 \)

2. У нас есть данные для 3-го электромотора: \[ ar^2 = 20 \, \text{кВт} \]

3. Подставим \( a \): \[ 5r^2 = 20 \implies r^2 = \frac{20}{5} = 4 \implies r = 2 \]

4. Теперь найдем мощность самого мощного электромотора (5-й): \[ ar^4 = 5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80 \, \text{кВт} \]

Ответ: Мощность самого мощного электромотора составляет 80 кВт.

Задача 3:

Условие: В результате трехкратного повышения цены на некоторый товар на одно и то же число процентов цена товара стала превышать первоначальную цену на 72,8%. На сколько процентов повышалась цена на товар каждый раз?

Решение:

1. Пусть \( x \) - процент повышения (в десятичном формате). Тогда после первого повышения цена равна \( P_1 = P(1 + x) \). После второго: \( P_2 = P_1(1 + x) = P(1 + x)^2 \). После третьего: \( P_3 = P_2(1 + x) = P(1 + x)^3 \).

2. У нас есть условие: \[ P(1 + x)^3 = P + 0.728P = 1.728P \] Делим обе стороны на \( P \): \[ (1 + x)^3 = 1.728 \]

3. Теперь извлечём кубический корень из обеих сторон: \[ 1 + x = \sqrt[3]{1.728} \] \[ \sqrt[3]{1.728} = 1.2 \implies x = 1.2 - 1 = 0.2 \implies x = 20\% \]

Ответ: Цена на товар повышалась на 20% каждый раз.

Задача 4:

Условие: Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 8 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение:

1. Пролетел камень за 1-ю секунду: 8 м
2. Пролетел камень за 2-ю секунду: 8 + 10 = 18 м
3. Пролетел камень за 3-ю секунду: 18 + 10 = 28 м
4. Пролетел камень за 4-ю секунду: 28 + 10 = 38 м
5. Пролетел камень за 5-ю секунду: 38 + 10 = 48 м
6. Пролетел камень за 6-ю секунду: 48 + 10 = 58 м

Теперь сложим все расстояния: \[ 8 + 18 + 28 + 38 + 48 + 58 = 198 \, \text{м} \]

Ответ: Камень пролетит 198 метров за первые шесть секунд.

Задача 5:

Условие: В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента.

Решение:

1. Определим, сколько периодов увеличения массы происходит за 90 минут: \[ 90 \, \text{мин} = \frac{90}{30} = 3 \, \text{периода} \]

2. Начальная масса: 13 мг. После каждого периода масса увеличивается в 3 раза: \[ \text{Масса после } n \text{ периодов} = \text{Начальная масса} \cdot 3^n \] Подставим \( n = 3 \): \[ \text{Масса} = 13 \cdot 3^3 = 13 \cdot 27 = 351 \, \text{мг} \]

Ответ: Масса колонии микроорганизмов через 90 минут составляет 351 мг.