Решим каждую из задач по очереди, начиная с первой.
Задача 1:
Условие: В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минуты.
Решение:
Найдем, сколько раз произойдет распад в течение 63 минут:
[
\text{Общее время} = 63 , \text{минуты}
]
[
\text{Период полураспада} = 9 , \text{минут}
]
[
\text{Количество периодов} = \frac{63}{9} = 7
]
Каждый раз масса уменьшается вдвое, то есть:
[
\text{Масса через } n \text{ периодов} = \text{Начальная масса} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
]
Подставим значения:
[
\text{Масса через 7 периодов} = 320 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7
]
Рассчитаем:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{1}{128}
]
[
\text{Масса} = 320 \cdot \frac{1}{128} = \frac{320}{128} = 2.5 , \text{мг}
]
Ответ: Масса изотопа через 63 минуты составит 2.5 мг.
Задача 2:
Условие: Мощности пяти различных электромоторов составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Мощность самого слабого электромотора 5 кВт, а третьего по мощности 20 кВт. Найдите мощность самого мощного электромотора.
Решение:
Пусть ( a ) - мощность самого слабого электромотора (5 кВт), а ( r ) - знаменатель геометрической прогрессии. Мощности электромоторов будут:
- 1-й: ( a )
- 2-й: ( ar )
- 3-й: ( ar^2 )
- 4-й: ( ar^3 )
- 5-й: ( ar^4 )
У нас есть данные для 3-го электромотора:
[
ar^2 = 20 , \text{кВт}
]
Подставим ( a ):
[
5r^2 = 20 \implies r^2 = \frac{20}{5} = 4 \implies r = 2
]
Теперь найдем мощность самого мощного электромотора (5-й):
[
ar^4 = 5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80 , \text{кВт}
]
Ответ: Мощность самого мощного электромотора составляет 80 кВт.
Задача 3:
Условие: В результате трехкратного повышения цены на некоторый товар на одно и то же число процентов цена товара стала превышать первоначальную цену на 72,8%. На сколько процентов повышалась цена на товар каждый раз?
Решение:
Пусть ( x ) - процент повышения (в десятичном формате).
Тогда после первого повышения цена равна ( P_1 = P(1 + x) ).
После второго: ( P_2 = P_1(1 + x) = P(1 + x)^2 ).
После третьего: ( P_3 = P_2(1 + x) = P(1 + x)^3 ).
У нас есть условие:
[
P(1 + x)^3 = P + 0.728P = 1.728P
]
Делим обе стороны на ( P ):
[
(1 + x)^3 = 1.728
]
Теперь извлечём кубический корень из обеих сторон:
[
1 + x = \sqrt[3]{1.728}
]
[
\sqrt[3]{1.728} = 1.2 \implies x = 1.2 - 1 = 0.2 \implies x = 20%
]
Ответ: Цена на товар повышалась на 20% каждый раз.
Задача 4:
Условие: Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 8 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?
Решение:
- Пролетел камень за 1-ю секунду: 8 м
- Пролетел камень за 2-ю секунду: 8 + 10 = 18 м
- Пролетел камень за 3-ю секунду: 18 + 10 = 28 м
- Пролетел камень за 4-ю секунду: 28 + 10 = 38 м
- Пролетел камень за 5-ю секунду: 38 + 10 = 48 м
- Пролетел камень за 6-ю секунду: 48 + 10 = 58 м
Теперь сложим все расстояния:
[
8 + 18 + 28 + 38 + 48 + 58 = 198 , \text{м}
]
Ответ: Камень пролетит 198 метров за первые шесть секунд.
Задача 5:
Условие: В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента.
Решение:
Определим, сколько периодов увеличения массы происходит за 90 минут:
[
90 , \text{мин} = \frac{90}{30} = 3 , \text{периода}
]
Начальная масса: 13 мг. После каждого периода масса увеличивается в 3 раза:
[
\text{Масса после } n \text{ периодов} = \text{Начальная масса} \cdot 3^n
]
Подставим ( n = 3 ):
[
\text{Масса} = 13 \cdot 3^3 = 13 \cdot 27 = 351 , \text{мг}
]
Ответ: Масса колонии микроорганизмов через 90 минут составляет 351 мг.
