Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Найдите EF, если сторона АС равна 15 см.

Для решения задачи используем свойства медиан и параллельных линий в геометрии. ### Шаг 1: Определение свойств медиан 1. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. 2. В треугольнике ABC медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроид (в данном случае точка O). 3. Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, то есть расстояние от вершины до центроида в два раза больше, чем расстояние от центроида до середины стороны. ### Шаг 2: Параллельная прямая Пусть через точку O проведена прямая, параллельная стороне AC, которая пересекает стороны AB и BC в точках E и F соответственно. Если прямая, проходящая через O, параллельна AC, то по признаку о пропорциональности отрезков, у нас есть следующее свойство: 1. Отрезки, которые получаются на сторонах AB и BC, будут пропорциональны. 2. Формально это означает, что: \[ \frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC} \] ### Шаг 3: Рассмотрим треугольник Так как мы знаем, что AC = 15 см, и выстраиваем треугольник, где отрезок EF — это отрезок, соединяющий точки E на AB и F на BC. Так как прямая EF параллельна AC, то по теореме о треугольниках у нас есть: \[ \frac{EF}{AC} = \frac{OE}{OB} = \frac{OF}{OC} \] ### Шаг 4: Соотношение EF и AC Так как точка O является центроидом, она делит каждый отрезок AB и BC в отношении 2:1. Это означает, что отрезок EF также будет равен половине длины стороны AC: \[ EF = \frac{1}{2} AC \] ### Шаг 5: Подстановка значений Теперь подставим известное значение стороны AC: \[ EF = \frac{1}{2} \times 15 \text{ см} = 7.5 \text{ см} \] ### Ответ Таким образом, длина отрезка EF составляет **7.5 см**.