Реши
Чтобы определить точку пересечения графиков функций \( y = \frac{1}{x} + \frac{1}{4} \) и \( y = -10 + x \), нужно найти значение \( x \), при котором значения \( y \) для обеих функций будут равны.
Дано:
- \( y = \frac{1}{x} + \frac{1}{4} \)
- \( y = -10 + x \)
Приравниваем правые части этих уравнений, поскольку \( y \) одинаково для обоих уравнений в точке пересечения:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{4} = -10 + x \]
Теперь решим это уравнение. Сначала избавимся от дроби:
- Выносим все на одну сторону уравнения:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{4} - x + 10 = 0 \]
- Приводим к общему знаменателю, который будет равен \( 4x \):
\[ \frac{4 + x}{4x} - x + 10 = 0 \]
- Умножаем каждое слагаемое на \( 4x \), чтобы избавиться от знаменателя:
\[ 4 + x - 4x^2 + 40x = 0 \]
- Преобразуем уравнение:
\[ -4x^2 + 41x + 4 = 0 \]
- Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = 41^2 - 4 \times (-4) \times 4 \]
\[ D = 1681 + 64 = 1745 \]
- Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ x_1, x_2 = \frac{-41 \pm \sqrt{1745}}{-8} \]
Вычисляем приближенно:
\[ \sqrt{1745} \approx 41.77 \]
- Находим значения корней:
\[ x_1 = \frac{-41 + 41.77}{-8} \approx -0.096 \]
\[ x_2 = \frac{-41 - 41.77}{-8} \approx 10.47 \]
- Поскольку отрезок решения нас интересует в контексте задания, разумно предположить, что нам нужна положительная часть, и тогда:
\[ x \approx 10.47 \]
Таким образом, \( x \approx 10.47 \).
