Для решения задачи о секущих, проведенных из внешней точки к окружности, давайте вспомним теорему о секущих. Она гласит, что если из точки, находящейся вне круга, проведены две секущие, то произведение длин отрезков каждой секущей будет одинаковым.
Обозначим:
Согласно теореме о секущих, мы имеем:
[
a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2.
]
Подставим известные значения:
[
175 = a_2 \times b_2.
]
Теперь подставим ( a_2 = b_2 + 14 ) в это уравнение:
[
175 = (b_2 + 14) \times b_2.
]
Раскроем скобки:
[
175 = b_2^2 + 14b_2.
]
Переместим всё в одно уравнение:
[
b_2^2 + 14b_2 - 175 = 0.
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:
[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A},
]
где ( A = 1 ), ( B = 14 ), ( C = -175 ).
Подставим значения:
[
b_2 = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-175)}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 700}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{896}}{2} = \frac{-14 \pm 4\sqrt{56}}{2}.
]
Упростим:
[
b_2 = -7 \pm 2\sqrt{56} = -7 \pm 2 \cdot 2\sqrt{14} = -7 \pm 4\sqrt{14}.
]
Так как длина отрезка не может быть отрицательной, берём:
[
b_2 = -7 + 4\sqrt{14}.
]
Теперь подставим ( b_2 ) обратно для нахождения ( a_2 ):
[
a_2 = b_2 + 14 = (-7 + 4\sqrt{14}) + 14 = 7 + 4\sqrt{14}.
]
Теперь найдём длину второй секущей:
[
\text{Длина второй секущей} = a_2 + b_2 = (7 + 4\sqrt{14}) + (-7 + 4\sqrt{14}) = 8\sqrt{14}.
]
Таким образом, длина второй секущей равна ( 8\sqrt{14} ).
