.Из точки вне круга проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 35, а внешний 5, внутренний отрезок второй секущей на 14 больше внешнего ее отрезка. Определите длину…

Для решения задачи о секущих, проведенных из внешней точки к окружности, давайте вспомним теорему о секущих. Она гласит, что если из точки, находящейся вне круга, проведены две секущие, то произведение длин отрезков каждой секущей будет одинаковым.

Обозначим:

• Для первой секущей:

  • Внутренний отрезок = 35 (обозначим его как \( a_1 = 35 \)).
  • Внешний отрезок = 5 (обозначим его как \( b_1 = 5 \)).

  Тогда произведение для первой секущей: \[ a_1 \times b_1 = 35 \times 5 = 175. \]

• Для второй секущей:

  • Обозначим внутренний отрезок как \( a_2 \) и внешний отрезок как \( b_2 \).
  • Из условия известно, что внутренний отрезок второй секущей на 14 больше внешнего, т.е.: \[ a_2 = b_2 + 14. \]

Согласно теореме о секущих, мы имеем: \[ a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2. \] Подставим известные значения: \[ 175 = a_2 \times b_2. \]

Теперь подставим \( a_2 = b_2 + 14 \) в это уравнение: \[ 175 = (b_2 + 14) \times b_2. \] Раскроем скобки: \[ 175 = b_2^2 + 14b_2. \] Переместим всё в одно уравнение: \[ b_2^2 + 14b_2 - 175 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}, \] где \( A = 1 \), \( B = 14 \), \( C = -175 \).

Подставим значения: \[ b_2 = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-175)}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 700}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{896}}{2} = \frac{-14 \pm 4\sqrt{56}}{2}. \] Упростим: \[ b_2 = -7 \pm 2\sqrt{56} = -7 \pm 2 \cdot 2\sqrt{14} = -7 \pm 4\sqrt{14}. \]

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, берём: \[ b_2 = -7 + 4\sqrt{14}. \]

Теперь подставим \( b_2 \) обратно для нахождения \( a_2 \): \[ a_2 = b_2 + 14 = (-7 + 4\sqrt{14}) + 14 = 7 + 4\sqrt{14}. \]

Теперь найдём длину второй секущей: \[ \text{Длина второй секущей} = a_2 + b_2 = (7 + 4\sqrt{14}) + (-7 + 4\sqrt{14}) = 8\sqrt{14}. \]

Таким образом, длина второй секущей равна \( 8\sqrt{14} \).