Для решения задачи воспользуемся неравенством Маркова. Оно помогает оценить распределение случайных величин, использующихся в вероятностных расчетах. В данном случае мы имеем следующую информацию:
- Сумма всех вкладов в банке составляет 20 млн руб. (или 20,000,000 руб.).
- Вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 200 тыс. руб. (или 200,000 руб.), равна 0,8.
Неравенство Маркова гласит, что для неотрицательной случайной величины ( X ) и любого ( a > 0 ) выполняется следующее:
[
P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}
]
Где:
- ( P(X \geq a) ) — вероятность того, что случайная величина ( X ) превышает ( a );
- ( E(X) ) — математическое ожидание (среднее значение) случайной величины ( X ).
В нашей задаче:
- Сумма вкладов ( S = 20,000,000 ) руб.
- Мы можем оценить средний размер вклада ( E(X) ) как ( \frac{S}{N} ), где ( N ) — количество вкладчиков.
Так как вероятность того, что вклад превышает 200,000 руб., равна 0,2 (если ( P(X \leq 200,000) = 0.8 ), то ( P(X > 200,000) = 0.2 )), заменим это в неравенство:
[
0.2 \leq \frac{E(X)}{200,000}
]
Затем выразим ( E(X) ):
[
E(X) \geq 0.2 \cdot 200,000 = 40,000 \text{ руб.}
]
Теперь мы можем использовать это значение для нахождения наибольшего числа вкладчиков ( N ):
Поскольку:
[
E(X) = \frac{S}{N} \implies N = \frac{S}{E(X)}
]
Подставим значения:
[
N \leq \frac{20,000,000}{40,000} = 500
]
Таким образом, наибольшее число вкладчиков, согласно неравенству Маркова, составляет 500.
