решить систему уравнений x+y=П/2 sin^2x-sin^2y=1
Решим систему уравнений:
\( x + y = \frac{\pi}{2} \)
\( \sin^2 x - \sin^2 y = 1 \)
Будем решать эту систему шаг за шагом.
Шаг 1: Подставим второе уравнение в первое.
Из первого уравнения можем выразить \( y \) через \( x \):
\[ y = \frac{\pi}{2} - x \]
Шаг 2: Подставим \( y \) во второе уравнение.
Теперь заменим \( y \) во втором уравнении:
\[ \sin^2 x - \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 1 \]
Согласно тригонометрическим идентичностям, мы знаем, что:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x \] Таким образом, получаем:
\[ \sin^2 x - \cos^2 x = 1 \]
Шаг 3: Применим тригонометрическую идентичность.
Согласно основной тригонометрической идентичности:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Выразим \( \cos^2 x \) через \( \sin^2 x \):
\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \]
Теперь подставим это в уравнение:
\[ \sin^2 x - (1 - \sin^2 x) = 1 \]
Упростим его:
\[ \sin^2 x - 1 + \sin^2 x = 1 \] \[ 2\sin^2 x - 1 = 1 \] \[ 2\sin^2 x = 2 \] \[ \sin^2 x = 1 \]
Шаг 4: Найдем возможные значения \( x \).
Поскольку \( \sin^2 x = 1 \), то:
\[ \sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -1 \]
Но \( \sin x = 1 \) происходит при \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), где \( k \) - целое число. И \( \sin x = -1 \) происходит при \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \). Но мы рассматривали \( y \) как \( \frac{\pi}{2} - x \), так что:
- Если \( x = \frac{\pi}{2} \), то \( y = 0 \).
- Если \( x = \frac{3\pi}{2} \), то \( y = -\pi \).
Однако, второе значение \( y \) ведет к некорректному значению при подстановке в начальную систему, поэтому рассматриваем только первое решение.
Итак, окончательное решение:
\[ x = \frac{\pi}{2}, \quad y = 0 \]
Таким образом, система уравнений имеет решение \( (x, y) = \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \).
