Решить систему уравнений x+y=П/2 sin^2x-sin^2y=1

Решим систему уравнений: 1) \( x + y = \frac{\pi}{2} \) 2) \( \sin^2 x - \sin^2 y = 1 \) Будем решать эту систему шаг за шагом. **Шаг 1: Подставим второе уравнение в первое.** Из первого уравнения можем выразить \( y \) через \( x \): \[ y = \frac{\pi}{2} - x \] **Шаг 2: Подставим \( y \) во второе уравнение.** Теперь заменим \( y \) во втором уравнении: \[ \sin^2 x - \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 1 \] Согласно тригонометрическим идентичностям, мы знаем, что: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x \] Таким образом, получаем: \[ \sin^2 x - \cos^2 x = 1 \] **Шаг 3: Применим тригонометрическую идентичность.** Согласно основной тригонометрической идентичности: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Выразим \( \cos^2 x \) через \( \sin^2 x \): \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \] Теперь подставим это в уравнение: \[ \sin^2 x - (1 - \sin^2 x) = 1 \] Упростим его: \[ \sin^2 x - 1 + \sin^2 x = 1 \] \[ 2\sin^2 x - 1 = 1 \] \[ 2\sin^2 x = 2 \] \[ \sin^2 x = 1 \] **Шаг 4: Найдем возможные значения \( x \).** Поскольку \( \sin^2 x = 1 \), то: \[ \sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -1 \] Но \( \sin x = 1 \) происходит при \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), где \( k \) - целое число. И \( \sin x = -1 \) происходит при \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \). Но мы рассматривали \( y \) как \( \frac{\pi}{2} - x \), так что: 1. Если \( x = \frac{\pi}{2} \), то \( y = 0 \). 2. Если \( x = \frac{3\pi}{2} \), то \( y = -\pi \). Однако, второе значение \( y \) ведет к некорректному значению при подстановке в начальную систему, поэтому рассматриваем только первое решение. **Итак, окончательное решение:** \[ x = \frac{\pi}{2}, \quad y = 0 \] Таким образом, система уравнений имеет решение \( (x, y) = \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \).