2. Лампочка в левой комнате некоторого блока в общежитии перегорает в среднем 1 раз в 20 включений. Лампочка в правой комнате этого блока перегорает в среднем 1 раз в 50 включений. Вероятность того, что при одновременном включении лампочек обе перегорят, составляет 0,01. Какова вероятность того, что при одновременном включении ни одна из лампочек не перегорит?
Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения вероятностей, связанных с перегорением лампочек.
1. **Вероятность перегорения левой лампочки:**
- Лампочка в левой комнате перегорает в среднем 1 раз в 20 включений. Следовательно, вероятность того, что лампочка перегорит при одном включении, равна:
\[
P(A) = \frac{1}{20} = 0,05
\]
2. **Вероятность перегорения правой лампочки:**
- Лампочка в правой комнате перегорает в среднем 1 раз в 50 включениях. Таким образом, вероятность перегорения правой лампочки:
\[
P(B) = \frac{1}{50} = 0,02
\]
3. **Вероятность перегоревания обеих лампочек:**
- По условию задачи, вероятность того, что обе лампочки перегорят одновременно, составляет 0,01:
\[
P(A \cap B) = 0,01
\]
4. **Теперь найдем вероятность того, что ни одна из лампочек не перегорит.**
- Вероятность того, что левая лампочка не перегорит, равна:
\[
P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0,05 = 0,95
\]
- Вероятность того, что правая лампочка не перегорит, равна:
\[
P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0,02 = 0,98
\]
5. **Вероятность того, что ни одна из лампочек не перегорит:**
- Ни одна из лампочек не перегорит, если обе лампочки не перегорят. Так как события не перегорения лампочек могут зависеть друг от друга, мы используем формулу полной вероятности:
\[
P(A' \cap B') = P(A') + P(B') - P(A \cap B)
\]
Подставляем известные значения:
\[
P(A' \cap B') = P(A') + P(B') - P(A \cap B) = 0,95 + 0,98 - 0,01
\]
6. **Вычисляем это значение:**
\[
P(A' \cap B') = 0,95 + 0,98 - 0,01 = 1,92
\]
Однако, это значение не может быть больше 1, так как это вероятность, следовательно, мы должны использовать вероятность независимых событий:
\[
P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = 0,95 \times 0,98
\]
7. **Расчет:**
\[
P(A' \cap B') = 0,95 \times 0,98 = 0,931
\]
Таким образом, **вероятность того, что при одновременном включении лампочек ни одна из них не перегорит, составляет приблизительно 0,931** или 93,1%.
