5х⁴+7х²-12=0
Решим уравнение \(5x^4 + 7x^2 - 12 = 0\) шаг за шагом.
Шаг 1: Переписывание уравнения
Уравнение имеет четвертую степень, но можем упростить его, используя замену переменной. Пусть \(y = x^2\). Тогда \(x^4\) можно записать как \(y^2\). Таким образом, уравнение превращается в:
\[ 5y^2 + 7y - 12 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для его решения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = -12\).
Сначала вычислим дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 5} \]
Поскольку \(\sqrt{289} = 17\), получим:
\[ y = \frac{-7 \pm 17}{10} \]
Шаг 3: Находим корни
Теперь найдём два значения для \(y\):
1. \[ y_1 = \frac{-7 + 17}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]
2. \[ y_2 = \frac{-7 - 17}{10} = \frac{-24}{10} = -2.4 \]
Шаг 4: Обратная замена
Теперь вспомним, что \(y = x^2\). Подставим найденные значения обратно:
Для \(y_1 = 1\): \[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]
Для \(y_2 = -2.4\): \[ x^2 = -2.4 \] Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Шаг 5: Итоговые решения
Таким образом, у нашего уравнения \(5x^4 + 7x^2 - 12 = 0\) есть два действительных корня:
\[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 \]
Следовательно, ответ: \(x = 1\) и \(x = -1\).
Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!
