Задание Nº 11 - развернуть Во время одной из интеллектуальных игр Незнайка и Пончик придумывали функции, а потом их исследовали. В частности, Пончик попросил Незнайку подсчитать,…
Задание Nº 11 - развернуть Во время одной из интеллектуальных игр Незнайка и Пончик придумывали функции, а потом их исследовали. В частности, Пончик попросил Незнайку подсчитать, сколько целых значений может принимать функция f (x) - 2cos2x + 2cosx - 2025. В результате у Незнайки получилось целос(- ых) значение(-ий, -ия).
Для нахождения целых значений функции \( f(x) = -2\cos^2 x + 2\cos x - 2025 \) сначала упростим её.
Обозначим \( y = \cos x \). Тогда мы можем переписать функцию:
\[ f(y) = -2y^2 + 2y - 2025 \]
Это квадратичная функция, и её можно записать в стандартном виде:
\[ f(y) = -2(y^2 - y + \frac{2025}{2}) \]
Теперь находим вершину параболы, которая представляет собой максимальное значение функции, так как коэффициент при \( y^2 \) отрицательный (парабола обращена вниз). Вершина параболы находится по формуле:
\[ y_{в} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{2} \]
Теперь подставим \( y_{в} \) в функцию и найдем максимальное значение:
\[ f(y_{в}) = -2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) - 2025 \]
\[ f(y_{в}) = -2 \cdot \frac{1}{4} + 1 - 2025 \]
\[ f(y_{в}) = -\frac{1}{2} + 1 - 2025 = \frac{1}{2} - 2025 \]
\[ f(y_{в}) = \frac{1 - 4050}{2} = \frac{-4049}{2} \]
Теперь определим минимальное значение функции. Поскольку \( y = \cos x \) принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то мы можем найти значения \( f(y) \) для границ этого диапазона.
- Подставляем \( y = -1 \):
\[ f(-1) = -2(-1)^2 + 2(-1) - 2025 = -2 - 2 - 2025 = -2029 \]
- Подставляем \( y = 1 \):
\[ f(1) = -2(1)^2 + 2(1) - 2025 = -2 + 2 - 2025 = -2025 \]
Таким образом, значение функции \( f(y) \) меняется от \( -2029 \) до \( -2025 \).
Теперь рассчитаем, сколько целых значений может принимать функция \( f(x) \):
Создадим диапазон для целых значений:
- Минимальное целое значение: \( -2029 \)
- Максимальное целое значение: \( -2025 \)
Целые числа в этом диапазоне: \( -2029 \), \( -2028 \), \( -2027 \), \( -2026 \), \( -2025 \).
Итак, целые значения функции:
\[ -2029, -2028, -2027, -2026, -2025 \]
Количество целых значений функции \( f(x) \) составляет 5.
В результате у Незнайки получилось 5 целых значений.
