Для нахождения целых значений функции ( f(x) = -2\cos^2 x + 2\cos x - 2025 ) сначала упростим её.
Обозначим ( y = \cos x ). Тогда мы можем переписать функцию:
[
f(y) = -2y^2 + 2y - 2025
]
Это квадратичная функция, и её можно записать в стандартном виде:
[
f(y) = -2(y^2 - y + \frac{2025}{2})
]
Теперь находим вершину параболы, которая представляет собой максимальное значение функции, так как коэффициент при ( y^2 ) отрицательный (парабола обращена вниз). Вершина параболы находится по формуле:
[
y_{в} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{2}
]
Теперь подставим ( y_{в} ) в функцию и найдем максимальное значение:
[
f(y_{в}) = -2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) - 2025
]
[
f(y_{в}) = -2 \cdot \frac{1}{4} + 1 - 2025
]
[
f(y_{в}) = -\frac{1}{2} + 1 - 2025 = \frac{1}{2} - 2025
]
[
f(y_{в}) = \frac{1 - 4050}{2} = \frac{-4049}{2}
]
Теперь определим минимальное значение функции. Поскольку ( y = \cos x ) принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то мы можем найти значения ( f(y) ) для границ этого диапазона.
- Подставляем ( y = -1 ):
[
f(-1) = -2(-1)^2 + 2(-1) - 2025 = -2 - 2 - 2025 = -2029
]
- Подставляем ( y = 1 ):
[
f(1) = -2(1)^2 + 2(1) - 2025 = -2 + 2 - 2025 = -2025
]
Таким образом, значение функции ( f(y) ) меняется от ( -2029 ) до ( -2025 ).
Теперь рассчитаем, сколько целых значений может принимать функция ( f(x) ):
Создадим диапазон для целых значений:
- Минимальное целое значение: ( -2029 )
- Максимальное целое значение: ( -2025 )
Целые числа в этом диапазоне: ( -2029 ), ( -2028 ), ( -2027 ), ( -2026 ), ( -2025 ).
Итак, целые значения функции:
[
-2029, -2028, -2027, -2026, -2025
]
Количество целых значений функции ( f(x) ) составляет 5.
В результате у Незнайки получилось 5 целых значений.
