Найдите площадь трапеции основания которой равны 8 и 20 а боковые стороны равны 10

Чтобы найти площадь трапеции, нужно использовать формулу: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \(a\) и \(b\) — основания трапеции, а \(h\) — высота. В данной задаче основания трапеции равны 8 и 20, а боковые стороны равны 10. Сначала мы должны найти высоту \(h\). ### Шаг 1: Найти высоту трапеции Для этого воспользуемся теорией о трапециях. Проведем перпендикуляры из концов меньшего основания (8) на большее основание (20). Обозначим следующие точки: - \(A\) и \(B\) — концы основания 8. - \(C\) и \(D\) — концы основания 20. Проведем перпендикуляры \(AM\) и \(BN\) из точек \(A\) и \(B\) на линию \(CD\). Получим две прямоугольные треугольники: \(ABM\) и \(ABN\). ### Шаг 2: Определение промежуточных длины Обозначим отрезки: - \(AM = h\) — высота. - \(BM = 10\) — длина боковой стороны (равна 10). - \(AD = x\) и \(BC = y\). Поскольку \(AB = 8\), у нас получается: \[ x + y + 8 = 20 \quad \Rightarrow \quad x + y = 12 \] ### Шаг 3: Используем теорему Пифагора Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника \(ABM\): \[ AM^2 + x^2 = 10^2 \] \[ h^2 + x^2 = 100 \quad (1) \] Для треугольника \(ABN\): \[ BN^2 + y^2 = 10^2 \] \[ h^2 + y^2 = 100 \quad (2) \] ### Шаг 4: Подстановка Теперь у нас есть две формулы (1) и (2) с двумя неизвестными \(x\) и \(y\). Из уравнения \(x + y = 12\) выразим \(y = 12 - x\) и подставим во второе уравнение: \[ h^2 + (12 - x)^2 = 100 \] ### Шаг 5: Решение системы Теперь решим систему уравнений. Подставим \(y\) в уравнение (2): 1) \(h^2 + x^2 = 100\) 2) \(h^2 + (12 - x)^2 = 100\) При равенстве \(h^2\) из первого и второго уравнения, у нас получается: \[ x^2 = (12 - x)^2 \] Развиваем его: \[ x^2 = 144 - 24x + x^2 \] Поскольку \(x^2\) в обеих частях одинаковы, сокращаем: \[ 0 = 144 - 24x \quad \Rightarrow \quad 24x = 144 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] Следовательно, \(y = 12 - 6 = 6\). ### Шаг 6: Подставляем значения для нахождения высоты Теперь подставим \(x = 6\) в одно из уравнений: \[ h^2 + 6^2 = 100 \] \[ h^2 + 36 = 100 \] \[ h^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad h = 8 \] ### Шаг 7: Находим площадь трапеции Теперь, зная основания и высоту, можем найти площадь: \[ S = \frac{(8 + 20) \cdot 8}{2} = \frac{28 \cdot 8}{2} = \frac{224}{2} = 112 \] ### Ответ Площадь трапеции равна 112 квадратным единицам.