Производится 3 выстрела с вероятностью по падения в одну цель равна 0,3. Найти математическое ожидание числа попадания.
Чтобы найти математическое ожидание числа попаданий в цель, давайте разобьем задачу на шаги.
Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть 3 выстрела, и вероятность попадания в цель с каждым выстрелом составляет 0,3 (30%). Мы хотим найти математическое ожидание числа попаданий.
Шаг 2: Определение случайной величины
Обозначим случайную величину \( X \) как количество попаданий в цель из 3 выстрелов. \( X \) может принимать значения от 0 до 3 (0 попаданий, 1 попадание, 2 попадания или 3 попадания).
Шаг 3: Формула математического ожидания
Математическое ожидание \( E(X) \) в случае дискретной случайной величины может быть найдено по формуле:
\[ E(X) = \sum_{x=0}^{n} x \cdot P(X = x) \]
где \( P(X = x) \) — это вероятность того, что произойдет ровно \( x \) попаданий.
Шаг 4: Вероятностное распределение
В данной задаче мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное число повторений (выстрелов), два исхода (попадание или промах) и постоянная вероятность успеха. Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \]
где:
- \( n \) — общее число выстрелов (3 в нашем случае),
- \( k \) — число попаданий,
- \( p \) — вероятность попадания (0,3),
- \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.
Шаг 5: Вычисление вероятностей
Давайте посчитаем вероятности для каждого возможного количества попаданий.
Для \( k = 0 \) (0 попаданий): \[ P(X = 0) = C(3, 0) \cdot (0.3)^0 \cdot (0.7)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.343 = 0.343 \]
Для \( k = 1 \) (1 попадание): \[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot (0.3)^1 \cdot (0.7)^2 = 3 \cdot 0.3 \cdot 0.49 = 0.441 \]
Для \( k = 2 \) (2 попадания): \[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^1 = 3 \cdot 0.09 \cdot 0.7 = 0.189 \]
Для \( k = 3 \) (3 попадания): \[ P(X = 3) = C(3, 3) \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^0 = 1 \cdot 0.027 \cdot 1 = 0.027 \]
Шаг 6: Подсчет математического ожидания
Теперь, когда у нас есть вероятности, мы можем подставить их в формулу для математического ожидания.
\[ E(X) = 0 \cdot 0.343 + 1 \cdot 0.441 + 2 \cdot 0.189 + 3 \cdot 0.027 \] \[ E(X) = 0 + 0.441 + 0.378 + 0.081 \] \[ E(X) = 0.900 \]
Ответ
Таким образом, математическое ожидание числа попаданий в цель составляет \( E(X) = 0.9 \). Это означает, что в среднем ожидается 0,9 попаданий из 3 выстрелов.
