Чтобы вычислить (\cos^2 \alpha) при заданных значениях (\sin \alpha = \frac{7}{8}) и угле (\alpha) в диапазоне (100^\circ < \alpha < 130^\circ), следуем следующим шагам.
Шаг 1: Найдем (\cos \alpha) с помощью основной тригонометрической тождественности
Используя основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Подставим известное значение (\sin \alpha):
[
\left(\frac{7}{8}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
]
Сначала вычислим (\left(\frac{7}{8}\right)^2):
[
\left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64}
]
Теперь подставим это в уравнение:
[
\frac{49}{64} + \cos^2 \alpha = 1
]
Шаг 2: Преобразуем уравнение
Вычтем (\frac{49}{64}) из обеих сторон:
[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{49}{64}
]
Чтобы выполнить вычитание, представим 1 в виде дроби с тем же знаменателем:
[
1 = \frac{64}{64}
]
Теперь подставим это значение:
[
\cos^2 \alpha = \frac{64}{64} - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}
]
Шаг 3: Ответ и анализ
Таким образом, мы нашли:
[
\cos^2 \alpha = \frac{15}{64}
]
Шаг 4: Проверка знака (\cos \alpha)
Поскольку угол (\alpha) находится в диапазоне (100^\circ < \alpha < 130^\circ), то (\cos \alpha) будет отрицательным (в этом диапазоне косинус угла отрицателен). Таким образом:
[
\cos \alpha = -\sqrt{\frac{15}{64}} = -\frac{\sqrt{15}}{8}
]
Однако нам требуется только (\cos^2 \alpha), что равно (\frac{15}{64}).
Итог
[
\cos^2 \alpha = \frac{15}{64}
]
