Вычисли cos ⁡ 2 α cos2α , зная, что sin ⁡ α = 7 8 , 10 0 ∘ < α < 13 0 ∘ sinα= 8 7 ​ ,100 ∘ <α<130 ∘ .

Чтобы вычислить \(\cos^2 \alpha\) при заданных значениях \(\sin \alpha = \frac{7}{8}\) и угле \(\alpha\) в диапазоне \(100^\circ < \alpha < 130^\circ\), следуем следующим шагам.

Шаг 1: Найдем \(\cos \alpha\) с помощью основной тригонометрической тождественности

Используя основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим известное значение \(\sin \alpha\):

\[ \left(\frac{7}{8}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

Сначала вычислим \(\left(\frac{7}{8}\right)^2\):

\[ \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64} \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ \frac{49}{64} + \cos^2 \alpha = 1 \]

Шаг 2: Преобразуем уравнение

Вычтем \(\frac{49}{64}\) из обеих сторон:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{49}{64} \]

Чтобы выполнить вычитание, представим 1 в виде дроби с тем же знаменателем:

\[ 1 = \frac{64}{64} \]

Теперь подставим это значение:

\[ \cos^2 \alpha = \frac{64}{64} - \frac{49}{64} = \frac{15}{64} \]

Шаг 3: Ответ и анализ

Таким образом, мы нашли:

\[ \cos^2 \alpha = \frac{15}{64} \]

Шаг 4: Проверка знака \(\cos \alpha\)

Поскольку угол \(\alpha\) находится в диапазоне \(100^\circ < \alpha < 130^\circ\), то \(\cos \alpha\) будет отрицательным (в этом диапазоне косинус угла отрицателен). Таким образом:

\[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{15}{64}} = -\frac{\sqrt{15}}{8} \]

Однако нам требуется только \(\cos^2 \alpha\), что равно \(\frac{15}{64}\).

Итог

\[ \cos^2 \alpha = \frac{15}{64} \]