Найдите первый член геометрической прогрессии (pn), если p3 = 4, p4 = -1.
Для нахождения первого члена геометрической прогрессии, давайте вспомним об основных свойствах геометрической прогрессии.
Определение: Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой любая последующая величина получается умножением предыдущей на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как \(q\)).
Для геометрической прогрессии:
- Первый член — это \(p_1\).
- Третий член можно записать как \(p_3 = p_1 \cdot q^2\) (это первый член, умноженный на знаменатель, возведённый в квадрат).
- Четвёртый член будет \(p_4 = p_1 \cdot q^3\) (это первый член, умноженный на знаменатель, возведённый в куб).
В данной задаче нам даны следующие значения:
- \(p_3 = 4\)
- \(p_4 = -1\)
Теперь мы можем написать два уравнения:
- \(p_1 \cdot q^2 = 4\) (уравнение (1))
- \(p_1 \cdot q^3 = -1\) (уравнение (2))
Теперь мы можем выразить \(p_1\) через \(q\) из первого уравнения:
\[ p_1 = \frac{4}{q^2} \quad (уравнение (3)) \]
Теперь подставим это значение \(p_1\) из уравнения (3) во второе уравнение (2):
\[ \frac{4}{q^2} \cdot q^3 = -1 \]
Теперь упростим это уравнение:
\[ \frac{4q^3}{q^2} = -1 \]
\[ 4q = -1 \]
Теперь найдем \(q\):
\[ q = -\frac{1}{4} \]
Теперь, когда мы нашли \(q\), можем подставить его обратно в уравнение (3) для нахождения \(p_1\):
\[ p_1 = \frac{4}{(-\frac{1}{4})^2} \]
Сначала найдем \((- \frac{1}{4})^2\):
\[ (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} \]
Затем подставим это значение в уравнение:
\[ p_1 = \frac{4}{\frac{1}{16}} = 4 \cdot 16 = 64 \]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии \(p_1\) равен \(64\).
Ответ: Первый член геометрической прогрессии \(p_1 = 64\).
