Чтобы найти длину вектора ( \mathbf{p} = 7\mathbf{a} - 3\mathbf{b} ), сначала нужно подставить координаты векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) и затем найти длину получившегося вектора.
Шаг 1: Подставляем значения векторов
Векторы заданы следующим образом:
- ( \mathbf{a} = (3, -1) )
- ( \mathbf{b} = (3, -4) )
Теперь подставим эти значения в выражение для ( \mathbf{p} ):
[
\mathbf{p} = 7\mathbf{a} - 3\mathbf{b} = 7(3, -1) - 3(3, -4)
]
Шаг 2: Вычисляем ( 7\mathbf{a} ) и ( -3\mathbf{b} )
Теперь мы умножим векторы на скаляры:
[
7\mathbf{a} = 7(3, -1) = (7 \cdot 3, 7 \cdot -1) = (21, -7)
]
[
-3\mathbf{b} = -3(3, -4) = (-3 \cdot 3, -3 \cdot -4) = (-9, 12)
]
Шаг 3: Находим ( \mathbf{p} )
Теперь мы можем найти ( \mathbf{p} ):
[
\mathbf{p} = (21, -7) + (-9, 12)
]
Складываем соответствующие координаты:
[
\mathbf{p} = (21 - 9, -7 + 12) = (12, 5)
]
Шаг 4: Находим длину вектора ( \mathbf{p} )
Длина вектора ( \mathbf{p} = (x, y) ) вычисляется по формуле:
[
|\mathbf{p}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Подставляем координаты вектора ( \mathbf{p} ):
[
|\mathbf{p}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13
]
Ответ
Длина вектора ( \mathbf{p} ) равна ( 13 ).
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснение какой-либо части решения, дайте знать!
