Вопрос от Анонимного юзера 12 марта 2025 06:20

Question 1

Реши неравенство (x-6)(2x+9)(x-7)<0 методом интервалов

Answer

Чтобы решить неравенство ((x-6)(2x+9)(x-7)<0) методом интервалов, следуем следующему пошаговому процессу.

Шаг 1: Определим нули функции

Для начала найдём нули функции, то есть значение (x), при котором данное произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю.

(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6)
(2x + 9 = 0 \Rightarrow 2x = -9 \Rightarrow x = -\frac{9}{2} = -4.5)
(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7)

Таким образом, нули функции: (x = -4.5), (x = 6), (x = 7).

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь мы разделим числовую ось на интервалы, используя найденные нули:

((-\infty, -4.5))
((-4.5, 6))
((6, 7))
((7, +\infty))

Шаг 3: Знак функции на каждом интервале

Теперь необходимо определить знак произведения на каждом из интервалов. Для этого возьмем тестовые точки из каждого интервала:

Интервал ((-\infty, -4.5)): Выберем (x = -5) [ (x - 6)(2x + 9)(x - 7) = (-5 - 6)(2(-5) + 9)(-5 - 7) = (-11)(-1)(-12) = -132 < 0 ] Знак — отрицательный.
Интервал ((-4.5, 6)): Выберем (x = 0) [ (0 - 6)(2(0) + 9)(0 - 7) = (-6)(9)(-7) = 378 > 0 ] Знак — положительный.
Интервал ((6, 7)): Выберем (x = 6.5) [ (6.5 - 6)(2(6.5) + 9)(6.5 - 7) = (0.5)(12 + 9)(-0.5) = (0.5)(21)(-0.5) = -5.25 < 0 ] Знак — отрицательный.
Интервал ((7, +\infty)): Выберем (x = 8) [ (8 - 6)(2(8) + 9)(8 - 7) = (2)(16 + 9)(1) = (2)(25) = 50 > 0 ] Знак — положительный.

Шаг 4: Итоговые интервалы

Теперь мы имеем знаки на интервалах:

( (-\infty, -4.5) ): отрицательный
( (-4.5, 6) ): положительный
( (6, 7) ): отрицательный
( (7, +\infty) ): положительный

Шаг 5: Составим ответ

Мы ищем те интервалы, где произведение меньше нуля. Это происходит на следующих интервалах:

( (-\infty, -4.5) )
( (6, 7) )

Ответ

Таким образом, решение неравенства ((x-6)(2x+9)(x-7)<0) можно записать как: [ x \in (-\infty, -4.5) \cup (6, 7) ]

Это и есть искомые интервалы, в которых неравенство выполняется.

Question 2

реши неравенство (x-6)(2x+9)(x-7)<0 методом интервалов

Answer

Чтобы решить неравенство \((x-6)(2x+9)(x-7)<0\) методом интервалов, следуем следующему пошаговому процессу. ### Шаг 1: Определим нули функции Для начала найдём нули функции, то есть значение \(x\), при котором данное произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю. 1. \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\) 2. \(2x + 9 = 0 \Rightarrow 2x = -9 \Rightarrow x = -\frac{9}{2} = -4.5\) 3. \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\) Таким образом, нули функции: \(x = -4.5\), \(x = 6\), \(x = 7\). ### Шаг 2: Определим интервалы Теперь мы разделим числовую ось на интервалы, используя найденные нули: 1. \((-\infty, -4.5)\) 2. \((-4.5, 6)\) 3. \((6, 7)\) 4. \((7, +\infty)\) ### Шаг 3: Знак функции на каждом интервале Теперь необходимо определить знак произведения на каждом из интервалов. Для этого возьмем тестовые точки из каждого интервала: 1. **Интервал \((-\infty, -4.5)\)**: Выберем \(x = -5\) \[ (x - 6)(2x + 9)(x - 7) = (-5 - 6)(2(-5) + 9)(-5 - 7) = (-11)(-1)(-12) = -132 < 0 \] Знак — отрицательный. 2. **Интервал \((-4.5, 6)\)**: Выберем \(x = 0\) \[ (0 - 6)(2(0) + 9)(0 - 7) = (-6)(9)(-7) = 378 > 0 \] Знак — положительный. 3. **Интервал \((6, 7)\)**: Выберем \(x = 6.5\) \[ (6.5 - 6)(2(6.5) + 9)(6.5 - 7) = (0.5)(12 + 9)(-0.5) = (0.5)(21)(-0.5) = -5.25 < 0 \] Знак — отрицательный. 4. **Интервал \((7, +\infty)\)**: Выберем \(x = 8\) \[ (8 - 6)(2(8) + 9)(8 - 7) = (2)(16 + 9)(1) = (2)(25) = 50 > 0 \] Знак — положительный. ### Шаг 4: Итоговые интервалы Теперь мы имеем знаки на интервалах: - \( (-\infty, -4.5) \): отрицательный - \( (-4.5, 6) \): положительный - \( (6, 7) \): отрицательный - \( (7, +\infty) \): положительный ### Шаг 5: Составим ответ Мы ищем те интервалы, где произведение меньше нуля. Это происходит на следующих интервалах: - \( (-\infty, -4.5) \) - \( (6, 7) \) ### Ответ Таким образом, решение неравенства \((x-6)(2x+9)(x-7)<0\) можно записать как: \[ x \in (-\infty, -4.5) \cup (6, 7) \] Это и есть искомые интервалы, в которых неравенство выполняется.