реши неравенство (x-6)(2x+9)(x-7)<0 методом интервалов

Чтобы решить неравенство \((x-6)(2x+9)(x-7)<0\) методом интервалов, следуем следующему пошаговому процессу.

Шаг 1: Определим нули функции

Для начала найдём нули функции, то есть значение \(x\), при котором данное произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю.

1. \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\)
2. \(2x + 9 = 0 \Rightarrow 2x = -9 \Rightarrow x = -\frac{9}{2} = -4.5\)
3. \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\)

Таким образом, нули функции: \(x = -4.5\), \(x = 6\), \(x = 7\).

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь мы разделим числовую ось на интервалы, используя найденные нули:

1. \((-\infty, -4.5)\)
2. \((-4.5, 6)\)
3. \((6, 7)\)
4. \((7, +\infty)\)

Шаг 3: Знак функции на каждом интервале

Теперь необходимо определить знак произведения на каждом из интервалов. Для этого возьмем тестовые точки из каждого интервала:

1. Интервал \((-\infty, -4.5)\): Выберем \(x = -5\) \[ (x - 6)(2x + 9)(x - 7) = (-5 - 6)(2(-5) + 9)(-5 - 7) = (-11)(-1)(-12) = -132 < 0 \] Знак — отрицательный.

2. Интервал \((-4.5, 6)\): Выберем \(x = 0\) \[ (0 - 6)(2(0) + 9)(0 - 7) = (-6)(9)(-7) = 378 > 0 \] Знак — положительный.

3. Интервал \((6, 7)\): Выберем \(x = 6.5\) \[ (6.5 - 6)(2(6.5) + 9)(6.5 - 7) = (0.5)(12 + 9)(-0.5) = (0.5)(21)(-0.5) = -5.25 < 0 \] Знак — отрицательный.

4. Интервал \((7, +\infty)\): Выберем \(x = 8\) \[ (8 - 6)(2(8) + 9)(8 - 7) = (2)(16 + 9)(1) = (2)(25) = 50 > 0 \] Знак — положительный.

Шаг 4: Итоговые интервалы

Теперь мы имеем знаки на интервалах:

• \( (-\infty, -4.5) \): отрицательный
• \( (-4.5, 6) \): положительный
• \( (6, 7) \): отрицательный
• \( (7, +\infty) \): положительный

Шаг 5: Составим ответ

Мы ищем те интервалы, где произведение меньше нуля. Это происходит на следующих интервалах:

• \( (-\infty, -4.5) \)
• \( (6, 7) \)

Ответ

Таким образом, решение неравенства \((x-6)(2x+9)(x-7)<0\) можно записать как: \[ x \in (-\infty, -4.5) \cup (6, 7) \]

Это и есть искомые интервалы, в которых неравенство выполняется.