найдите координаты точки принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек А(-1;4) и В(5;2)

Чтобы найти координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек \( A(-1; 4) \) и \( B(5; 2) \), нам нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Определение точки на оси абсцисс

Точка на оси абсцисс имеет вид \( (x; 0) \), где \( y = 0 \). То есть мы будем искать координату \( x \) точки, которая является равноудаленной от \( A \) и \( B \).

Шаг 2: Рассмотрим формулу для расстояния

Расстояние между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) вычисляется по формуле:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Шаг 3: Запишем расстояния от точки на оси абсцисс до точек \( A \) и \( B \)

Пусть точка на оси абсцисс имеет координаты \( (x; 0) \). Тогда расстояние от этой точки до \( A(-1; 4) \) будет:

\[ d_A = \sqrt{(x - (-1))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + 16} \]

Расстояние от точки до \( B(5; 2) \):

\[ d_B = \sqrt{(x - 5)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + 4} \]

Шаг 4: Установим равенство расстояний

Согласно условию задачи, расстояния \( d_A \) и \( d_B \) равны:

\[ \sqrt{(x + 1)^2 + 16} = \sqrt{(x - 5)^2 + 4} \]

Шаг 5: Уберем квадратные корни

Для того чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны в квадрат:

\[ (x + 1)^2 + 16 = (x - 5)^2 + 4 \]

Шаг 6: Раскроем скобки

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 2x + 1 + 16 = x^2 - 10x + 25 + 4 \]

Упрощаем уравнение:

\[ x^2 + 2x + 17 = x^2 - 10x + 29 \]

Шаг 7: Упростим уравнение

Убрав \( x^2 \) из обоих сторон, получаем:

\[ 2x + 17 = -10x + 29 \]

Соберем все \( x \) с одной стороны:

\[ 2x + 10x = 29 - 17 \]

Это упростится до:

\[ 12x = 12 \]

Шаг 8: Найдем \( x \)

Разделим обе стороны на 12:

\[ x = 1 \]

Результат

Таким образом, координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек \( A \) и \( B \), будут:

\[ (1; 0) \]

Ответ:

Координаты искомой точки: \( (1; 0) \)