(х-3)²/1-х≥0 методом интервала

Чтобы решить неравенство \((x - 3)^2/(1 - x) \geq 0\) методом интервалов, следуем следующему пошаговому плану: ### Шаг 1: Определим значения, при которых выражение = 0 или не определено 1. **Знаменатель не равен нулю:** Для того чтобы дробь была определена, знаменатель \(1 - x\) не должен равняться нулю: \[ 1 - x \neq 0 \implies x \neq 1 \] 2. **Числитель равен нулю:** Определяем, при каких значениях числитель \((x - 3)^2\) равен нулю: \[ (x - 3)^2 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3 \] То есть, выражение равно нулю, когда \(x = 3\). ### Шаг 2: Найдем критические точки Критические точки, определяющие изменение знака, в нашем случае: - \(x = 1\) (где дробь не определена) - \(x = 3\) (где дробь равна нулю) ### Шаг 3: Определим интервалы Теперь мы выделим интервалы на числовой оси, основываясь на критических точках \(1\) и \(3\): 1. \( (-\infty, 1) \) 2. \( (1, 3) \) 3. \( (3, +\infty) \) ### Шаг 4: Проверим знаки на каждом интервале Теперь для каждого из этих интервалов подставим произвольное число и определим знак дроби. 1. **Интервал \((-∞, 1)\)**: Пусть \(x = 0\): \[ \frac{(0 - 3)^2}{1 - 0} = \frac{9}{1} = 9 \quad (\text{положительное}) \] 2. **Интервал \((1, 3)\)**: Пусть \(x = 2\): \[ \frac{(2 - 3)^2}{1 - 2} = \frac{1}{-1} = -1 \quad (\text{отрицательное}) \] 3. **Интервал \((3, +∞)\)**: Пусть \(x = 4\): \[ \frac{(4 - 3)^2}{1 - 4} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \quad (\text{отрицательное}) \] ### Шаг 5: Составляем результат Теперь подводим итоги. Мы имеем: - В интервале \((-∞, 1)\): выражение положительно. - В интервале \((1, 3)\): выражение отрицательно. - В интервале \((3, +∞)\): выражение отрицательно. ### Шаг 6: Учитываем границы Теперь проверяем, какие значения включаем: - \(x = 3\): здесь выражение равно \(0\), и это удовлетворяет неравенству \((x - 3)^2/(1 - x) \geq 0\). - \(x = 1\): это значение не допускается, так как дробь не определена. ### Итоговое решение Таким образом, решение неравенства \(\frac{(x - 3)^2}{1 - x} \geq 0\) будет: \[ (-\infty, 1) \cup \{3\} \] Ответ: \(x \in (-\infty, 1) \cup \{3\}\).