(х-3)²/1-х≥0 методом интервала
Чтобы решить неравенство \((x - 3)^2/(1 - x) \geq 0\) методом интервалов, следуем следующему пошаговому плану:
Шаг 1: Определим значения, при которых выражение = 0 или не определено
Знаменатель не равен нулю: Для того чтобы дробь была определена, знаменатель \(1 - x\) не должен равняться нулю: \[ 1 - x \neq 0 \implies x \neq 1 \]
Числитель равен нулю: Определяем, при каких значениях числитель \((x - 3)^2\) равен нулю: \[ (x - 3)^2 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3 \] То есть, выражение равно нулю, когда \(x = 3\).
Шаг 2: Найдем критические точки
Критические точки, определяющие изменение знака, в нашем случае:
- \(x = 1\) (где дробь не определена)
- \(x = 3\) (где дробь равна нулю)
Шаг 3: Определим интервалы
Теперь мы выделим интервалы на числовой оси, основываясь на критических точках \(1\) и \(3\):
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Шаг 4: Проверим знаки на каждом интервале
Теперь для каждого из этих интервалов подставим произвольное число и определим знак дроби.
Интервал \((-∞, 1)\): Пусть \(x = 0\): \[ \frac{(0 - 3)^2}{1 - 0} = \frac{9}{1} = 9 \quad (\text{положительное}) \]
Интервал \((1, 3)\): Пусть \(x = 2\): \[ \frac{(2 - 3)^2}{1 - 2} = \frac{1}{-1} = -1 \quad (\text{отрицательное}) \]
Интервал \((3, +∞)\): Пусть \(x = 4\): \[ \frac{(4 - 3)^2}{1 - 4} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \quad (\text{отрицательное}) \]
Шаг 5: Составляем результат
Теперь подводим итоги. Мы имеем:
- В интервале \((-∞, 1)\): выражение положительно.
- В интервале \((1, 3)\): выражение отрицательно.
- В интервале \((3, +∞)\): выражение отрицательно.
Шаг 6: Учитываем границы
Теперь проверяем, какие значения включаем:
- \(x = 3\): здесь выражение равно \(0\), и это удовлетворяет неравенству \((x - 3)^2/(1 - x) \geq 0\).
- \(x = 1\): это значение не допускается, так как дробь не определена.
Итоговое решение
Таким образом, решение неравенства \(\frac{(x - 3)^2}{1 - x} \geq 0\) будет: \[ (-\infty, 1) \cup \{3\} \]
Ответ: \(x \in (-\infty, 1) \cup \{3\}\).
