Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 квадрат со стороной равной 2. На боковом ребре Dd1 равном 3 выбрана точка К, которая делит его в отношении 2:1 считая от…

Для решения данной задачи о прямоугольном параллелепипеде, будем использовать векторное представление.

Дано:

1. Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат ABCD со стороной 2.
2. Высота Dd1 (длина бокового ребра) равна 3.
3. Точка K делит ребро Dd1 в отношении 2:1, считая от вершины D.

Обозначение вершин параллелепипеда:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(2, 0, 3)
• C1(2, 2, 3)
• D1(0, 2, 3)

Определение координат точки K:

Рассмотрим линию Dd1. Координаты вершины D: \(D(0, 2, 0)\), координаты вершины D1: \(D1(0, 2, 3)\).

Точка K делит отрезок Dd1 в отношении 2:1, значит:

\[ K\left(x, y, z\right) = \left(\frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 2}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 3}{2 + 1}\right) = \left(0, 2, 1\right) \]

Часть (а): Найти угол между прямыми КС и A1B1.

Координаты точек:

• K(0, 2, 1)
• C(2, 2, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(2, 0, 3)

Векторы:

1. Вектор KS (от K к C): \[ \overrightarrow{KC} = C - K = (2 - 0, 2 - 2, 0 - 1) = (2, 0, -1) \]

2. Вектор A1B1 (от A1 к B1): \[ \overrightarrow{A1B1} = B1 - A1 = (2 - 0, 0 - 0, 3 - 3) = (2, 0, 0) \]

Угол между векторами:

Угол \(\theta\) можно найти по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{A1B1}}{|\overrightarrow{KC}| |\overrightarrow{A1B1}|} \]

Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{A1B1} = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 = 4 \]

Длина векторов: \[ |\overrightarrow{KC}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{A1B1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = 2 \]

Теперь подставим в формулу: \[ \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Угол: \[ \theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \]

Часть (б): Найти угол между плоскостями АКС и АВС.

Нормальные векторы:

1. Для плоскости АКС (параметры: A(0, 0, 0), K(0, 2, 1), C(2, 2, 0)): Используем векторы: \[ \overrightarrow{AK} = (0 - 0, 2 - 0, 1 - 0) = (0, 2, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (2 - 0, 2 - 0, 0 - 0) = (2, 2, 0) \]

Нормальный вектор плоскости АКС: \[ \overrightarrow{n1} = \overrightarrow{AK} \times \overrightarrow{AC} \] Рассчитаем: \[ \overrightarrow{n1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 \cdot 0 - 1 \cdot 2) - \hat{j}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 2) + \hat{k}(0 \cdot 2 - 2 \cdot 2) = (-2, -2, -4) \]

2. Для плоскости АВС (параметры: A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0)): \[ \overrightarrow{AB} = (2, 0, 0), \quad \overrightarrow{AC} = (2, 2, 0) \]

Нормальный вектор плоскости АВС: \[ \overrightarrow{n2} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \] Рассчитаем: \[ \overrightarrow{n2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 2) - \hat{j}(2 \cdot 0 - 0 \cdot 2) + \hat{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = (0, 0, 4) \]

Угол между плоскостями:

Угол \(\phi\) между плоскостями можно найти по формуле: \[ \cos \phi = \frac{\overrightarrow{n1} \cdot \overrightarrow{n2}}{|\overrightarrow{n1}| |\overrightarrow{n2}|} \]

Скалярное произведение нормальных векторов: \[ \overrightarrow{n1} \cdot \overrightarrow{n2} = -2 \cdot 0 + -2 \cdot 0 + -4 \cdot 4 = -16 \]

Длина нормальных векторов: \[ |\overrightarrow{n1}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{n2}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4 \]

Теперь подставим в формулу для косинуса угла: \[ \cos \phi = \frac{-16}{(2\sqrt{6}) \cdot 4} = \frac{-16}{8\sqrt{6}} = \frac{-2}{\sqrt{6}} \]

Угол: \[ \phi = \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{6}}\right) \]

Ответ:

а) Угол между прямыми KС и A1B1 равен \( \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \).

б) Угол между плоскостями АКС и АВС равен \( \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{6}}\right) \).