Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 квадрат со стороной равной 2. На боковом ребре Dd1 равном 3 выбрана точка К, которая делит его в отношении 2:1 считая от вершины D. Найдите: а) угол между прямыми КС и А1В1; б) угол между плоскостями АКС и АВС

Для решения данной задачи о прямоугольном параллелепипеде, будем использовать векторное представление. ### Дано: 1. Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат ABCD со стороной 2. 2. Высота Dd1 (длина бокового ребра) равна 3. 3. Точка K делит ребро Dd1 в отношении 2:1, считая от вершины D. ### Обозначение вершин параллелепипеда: - A(0, 0, 0) - B(2, 0, 0) - C(2, 2, 0) - D(0, 2, 0) - A1(0, 0, 3) - B1(2, 0, 3) - C1(2, 2, 3) - D1(0, 2, 3) ### Определение координат точки K: Рассмотрим линию Dd1. Координаты вершины D: \(D(0, 2, 0)\), координаты вершины D1: \(D1(0, 2, 3)\). Точка K делит отрезок Dd1 в отношении 2:1, значит: \[ K\left(x, y, z\right) = \left(\frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 2}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 3}{2 + 1}\right) = \left(0, 2, 1\right) \] ### Часть (а): Найти угол между прямыми КС и A1B1. **Координаты точек:** - K(0, 2, 1) - C(2, 2, 0) - A1(0, 0, 3) - B1(2, 0, 3) #### Векторы: 1. Вектор KS (от K к C): \[ \overrightarrow{KC} = C - K = (2 - 0, 2 - 2, 0 - 1) = (2, 0, -1) \] 2. Вектор A1B1 (от A1 к B1): \[ \overrightarrow{A1B1} = B1 - A1 = (2 - 0, 0 - 0, 3 - 3) = (2, 0, 0) \] #### Угол между векторами: Угол \(\theta\) можно найти по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{A1B1}}{|\overrightarrow{KC}| |\overrightarrow{A1B1}|} \] **Скалярное произведение:** \[ \overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{A1B1} = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 = 4 \] **Длина векторов:** \[ |\overrightarrow{KC}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{A1B1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = 2 \] Теперь подставим в формулу: \[ \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] **Угол:** \[ \theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \] ### Часть (б): Найти угол между плоскостями АКС и АВС. #### Нормальные векторы: 1. Для плоскости АКС (параметры: A(0, 0, 0), K(0, 2, 1), C(2, 2, 0)): Используем векторы: \[ \overrightarrow{AK} = (0 - 0, 2 - 0, 1 - 0) = (0, 2, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (2 - 0, 2 - 0, 0 - 0) = (2, 2, 0) \] Нормальный вектор плоскости АКС: \[ \overrightarrow{n1} = \overrightarrow{AK} \times \overrightarrow{AC} \] Рассчитаем: \[ \overrightarrow{n1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 \cdot 0 - 1 \cdot 2) - \hat{j}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 2) + \hat{k}(0 \cdot 2 - 2 \cdot 2) = (-2, -2, -4) \] 2. Для плоскости АВС (параметры: A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0)): \[ \overrightarrow{AB} = (2, 0, 0), \quad \overrightarrow{AC} = (2, 2, 0) \] Нормальный вектор плоскости АВС: \[ \overrightarrow{n2} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \] Рассчитаем: \[ \overrightarrow{n2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 2) - \hat{j}(2 \cdot 0 - 0 \cdot 2) + \hat{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = (0, 0, 4) \] #### Угол между плоскостями: Угол \(\phi\) между плоскостями можно найти по формуле: \[ \cos \phi = \frac{\overrightarrow{n1} \cdot \overrightarrow{n2}}{|\overrightarrow{n1}| |\overrightarrow{n2}|} \] **Скалярное произведение нормальных векторов:** \[ \overrightarrow{n1} \cdot \overrightarrow{n2} = -2 \cdot 0 + -2 \cdot 0 + -4 \cdot 4 = -16 \] **Длина нормальных векторов:** \[ |\overrightarrow{n1}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{n2}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4 \] Теперь подставим в формулу для косинуса угла: \[ \cos \phi = \frac{-16}{(2\sqrt{6}) \cdot 4} = \frac{-16}{8\sqrt{6}} = \frac{-2}{\sqrt{6}} \] **Угол:** \[ \phi = \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{6}}\right) \] ### Ответ: а) Угол между прямыми KС и A1B1 равен \( \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \). б) Угол между плоскостями АКС и АВС равен \( \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{6}}\right) \).