y=11ln(x+6)-11x-3 на отрезке [-5,5;0]

Давайте решим задачу по анализу функции \( y = 11\ln(x + 6) - 11x - 3 \) на указанном отрезке. Мы будем искать критические точки, определять экстремумы и исследовать поведение функции на данном интервале.

Шаг 1: Определение области определения

Сначала найдем область определения функции. Поскольку у нас есть логарифм \( \ln(x + 6) \), необходимо, чтобы аргумент логарифма был положительным:

\[ x + 6 > 0 \implies x > -6 \]

Следует учесть, что заданный отрезок интервала — это \([-5, 5]\). На этом интервале область определения функции не вызывает проблем, так как \(-5 > -6\).

Шаг 2: Нахождение производной

Далее найдем первую производную функции, чтобы найти критические точки:

\[ y' = \frac{d}{dx}(11\ln(x + 6) - 11x - 3) \]

Применяя правила дифференцирования, получим:

\[ y' = 11 \cdot \frac{1}{x + 6} - 11 \]

Упростим производную:

\[ y' = \frac{11}{x + 6} - 11 \]

Шаг 3: Нахождение критических точек

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

\[ \frac{11}{x + 6} - 11 = 0 \]

Решим уравнение:

\[ \frac{11}{x + 6} = 11 \]

Умножим обе стороны на \(x + 6\) (при условии, что \(x + 6 \neq 0\)):

\[ 11 = 11(x + 6) \]

\[ 11 = 11x + 66 \]

Переносим 66 влево:

\[ 11x = 11 - 66 \]

\[ 11x = -55 \implies x = -5 \]

Шаг 4: Вторичная производная для определения экстремумов

Теперь найдем вторую производную для определения типа критической точки:

\[ y'' = -\frac{11}{(x + 6)^2} \]

Подставим \(x = -5\):

\[ y''(-5) = -\frac{11}{(-5 + 6)^2} = -\frac{11}{1} = -11 \]

Поскольку вторая производная отрицательна, это указывает на то, что функция имеет локальный максимум в \(x = -5\).

Шаг 5: Значения функции на краях отрезка и в критической точке

Теперь найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке \(x = -5\):

1. \(x = -5\): \[ y(-5) = 11\ln(-5 + 6) - 11(-5) - 3 = 11\ln(1) + 55 - 3 = 0 + 55 - 3 = 52 \]

2. \(x = 0\): \[ y(0) = 11\ln(0 + 6) - 11 \cdot 0 - 3 = 11\ln(6) - 3 \]

Таким образом, значения функции:

• \(y(-5) = 52\)
• \(y(0) = 11\ln(6) - 3 \approx 11 \cdot 1.79176 - 3 \approx 19.70836 - 3 \approx 16.70836\)

Шаг 6: Сравнение значений

Сравниваем значения:

• \(y(-5) = 52\)
• \(y(0) \approx 16.71\)

Результат

На отрезке \([-5, 0]\) функция имеет локальный максимум в точке \(-5\) с значением \(52\) и низшее значение в точке \(0\) примерно \(16.71\).

Таким образом, функция убывает на интервале от \(-5\) до \(0\), достигая своего максимума в точке \(-5\).