Y=11ln(x+6)-11x-3 на отрезке [-5,5;0]

Давайте решим задачу по анализу функции \( y = 11\ln(x + 6) - 11x - 3 \) на указанном отрезке. Мы будем искать критические точки, определять экстремумы и исследовать поведение функции на данном интервале. ### Шаг 1: Определение области определения Сначала найдем область определения функции. Поскольку у нас есть логарифм \( \ln(x + 6) \), необходимо, чтобы аргумент логарифма был положительным: \[ x + 6 > 0 \implies x > -6 \] Следует учесть, что заданный отрезок интервала — это \([-5, 5]\). На этом интервале область определения функции не вызывает проблем, так как \(-5 > -6\). ### Шаг 2: Нахождение производной Далее найдем первую производную функции, чтобы найти критические точки: \[ y' = \frac{d}{dx}(11\ln(x + 6) - 11x - 3) \] Применяя правила дифференцирования, получим: \[ y' = 11 \cdot \frac{1}{x + 6} - 11 \] Упростим производную: \[ y' = \frac{11}{x + 6} - 11 \] ### Шаг 3: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \[ \frac{11}{x + 6} - 11 = 0 \] Решим уравнение: \[ \frac{11}{x + 6} = 11 \] Умножим обе стороны на \(x + 6\) (при условии, что \(x + 6 \neq 0\)): \[ 11 = 11(x + 6) \] \[ 11 = 11x + 66 \] Переносим 66 влево: \[ 11x = 11 - 66 \] \[ 11x = -55 \implies x = -5 \] ### Шаг 4: Вторичная производная для определения экстремумов Теперь найдем вторую производную для определения типа критической точки: \[ y'' = -\frac{11}{(x + 6)^2} \] Подставим \(x = -5\): \[ y''(-5) = -\frac{11}{(-5 + 6)^2} = -\frac{11}{1} = -11 \] Поскольку вторая производная отрицательна, это указывает на то, что функция имеет локальный максимум в \(x = -5\). ### Шаг 5: Значения функции на краях отрезка и в критической точке Теперь найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке \(x = -5\): 1. \(x = -5\): \[ y(-5) = 11\ln(-5 + 6) - 11(-5) - 3 = 11\ln(1) + 55 - 3 = 0 + 55 - 3 = 52 \] 2. \(x = 0\): \[ y(0) = 11\ln(0 + 6) - 11 \cdot 0 - 3 = 11\ln(6) - 3 \] Таким образом, значения функции: - \(y(-5) = 52\) - \(y(0) = 11\ln(6) - 3 \approx 11 \cdot 1.79176 - 3 \approx 19.70836 - 3 \approx 16.70836\) ### Шаг 6: Сравнение значений Сравниваем значения: - \(y(-5) = 52\) - \(y(0) \approx 16.71\) ### Результат На отрезке \([-5, 0]\) функция имеет локальный максимум в точке \(-5\) с значением \(52\) и низшее значение в точке \(0\) примерно \(16.71\). Таким образом, функция убывает на интервале от \(-5\) до \(0\), достигая своего максимума в точке \(-5\).