Основания равнобедренной трапеции равны 15 15 и 55 . 55. Боковые стороны равны 25 . 25. Найдите синус острого угла трапеции.
Чтобы найти синус острого угла равнобедренной трапеции, давайте сначала разберемся с данными.
Мы имеем равнобедренную трапецию \(ABCD\), где основания \(AB = 55\) и \(CD = 15\) (верхнее основание меньше нижнего), а боковые стороны \(AD = BC = 25\).
Шаг 1: Найдите высоту трапеции
Проведем высоты \(h\) из точек \(C\) и \(D\) на основание \(AB\). Обозначим точки пересечения высот с основанием \(AB\) как \(E\) и \(F\), соответственно.
Поскольку трапеция равнобедренная, отрезки \(AE\) и \(BF\) равны. Пусть \(AE = BF = x\).
Тогда можно выразить длину основания \(AB\) через \(x\):
\[ AB = AE + EF + BF \implies 55 = x + 15 + x \implies 55 = 2x + 15 \]
Решив уравнение, получим:
\[ 2x = 55 - 15 \implies 2x = 40 \implies x = 20 \]
Таким образом, \(AE = BF = 20\) и длина отрезка \(EF\) (высота \(h\)) равна \(CD = 15\).
Шаг 2: Найдите высоту \(h\)
Теперь мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику \(ADE\):
- Длина \(AD = 25\),
- Длина \(AE = 20\),
- Высота \(h\) - это длина отрезка, который мы ищем.
По теореме Пифагора:
\[ AD^2 = AE^2 + h^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 25^2 = 20^2 + h^2 \implies 625 = 400 + h^2 \implies h^2 = 625 - 400 \implies h^2 = 225 \]
Таким образом,
\[ h = \sqrt{225} = 15 \]
Шаг 3: Найдите синус острого угла
Теперь мы можем найти синус острого угла \( \angle DAE\):
- В треугольнике \(ADE\) у нас есть высота \(h\) и основание \(AE\). Синус острого угла \( \angle DAE\) можно представить как отношение противолежащего катета к гипотенузе:
\[ \sin(\angle DAE) = \frac{h}{AD} = \frac{h}{25} \]
- Подставим значение \(h = 15\):
\[ \sin(\angle DAE) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \]
Ответ
Синус острого угла трапеции равен \(\frac{3}{5}\).
