постройте график функции y=2x²-2x-4

Для построения графика функции \( y = 2x^2 - 2x - 4 \) мы будем следовать нескольким шагам. Рассмотрим их более подробно.

Шаг 1: Определение типа функции

Это квадратичная функция, которая имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = 2 \), \( b = -2 \) и \( c = -4 \). Квадратичные функции описываются параболами.

Шаг 2: Определение координат вершины параболы

Вершина параболы, заданной уравнением \( y = ax^2 + bx + c \), находится по формуле:

\[ x_{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a} \]

Подставим наши значения:

\[ x_{\text{вершина}} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь найдем значение \( y \) в вершине, подставив \( x = \frac{1}{2} \) в исходную функцию:

\[ y_{\text{вершина}} = 2 \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{2} \right) - 4 \]

Выполним вычисления:

\[ = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 - 4 = \frac{1}{2} - 1 - 4 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{8}{2} = \frac{1 - 2 - 8}{2} = \frac{-9}{2} = -4.5 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left( \frac{1}{2}, -4.5 \right) \).

Шаг 3: Определение точки пересечения с осью y

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью y, нужно подставить \( x = 0 \):

\[ y(0) = 2 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 4 = -4 \]

Таким образом, точка пересечения с осью y – это \( (0, -4) \).

Шаг 4: Нахождение дополнительных точек

Для лучшего понимания формы параболы, найдём несколько значений функции при разных \( x \):

• При \( x = -1 \):

\[ y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 4 = 2 \cdot 1 + 2 - 4 = 0 \]

Точка: \( (-1, 0) \)

• При \( x = 1 \):

\[ y(1) = 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 2 - 4 = -4 \]

Точка: \( (1, -4) \)

• При \( x = 2 \):

\[ y(2) = 2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0 \]

Точка: \( (2, 0) \)

Шаг 5: Построение графика

Теперь у нас есть несколько ключевых точек:

• Вершина: \( \left( \frac{1}{2}, -4.5 \right) \)
• Пересечение с осью y: \( (0, -4) \)
• Дополнительные точки: \( (-1, 0) \), \( (1, -4) \), \( (2, 0) \)

График будет проходить через эти точки и иметь форму параболы, открытой вверх, так как коэффициент \( a = 2 \) положителен.

Шаг 6: Завершение

Собрав все точки и соединяя их кривой, мы получим график функции \( y = 2x^2 - 2x - 4 \).

Вы можете использовать графические калькуляторы или программное обеспечение для построения графиков, чтобы визуализировать эту функцию наиболее точно.