Для решения задачи нужно вычислить выражение (|\vec{a} + \vec{b}| \cdot |\vec{a} - \vec{b}|), используя данные о длинах векторов (|\vec{a}| = 3) и (|\vec{b}| = 4), а также угол между ними, который равен 60 градусов.
Шаг 1: Вычисление (|\vec{a} + \vec{b}|)
Сначала воспользуемся формулой для длины суммы двух векторов:
[
|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)}
]
Где:
- (|\vec{a}|^2 = 3^2 = 9)
- (|\vec{b}|^2 = 4^2 = 16)
- (\theta = 60^\circ), следовательно, (\cos(60^\circ) = 0.5)
Подставим значения в формулу:
[
|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{9 + 16 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 0.5}
]
Теперь вычислим:
[
= \sqrt{9 + 16 + 12} = \sqrt{37}
]
Шаг 2: Вычисление (|\vec{a} - \vec{b}|)
Теперь воспользуемся аналогичной формулой для длины разности двух векторов:
[
|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)}
]
Подставим те же значения:
[
|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 0.5}
]
Вычислим:
[
= \sqrt{9 + 16 - 12} = \sqrt{13}
]
Шаг 3: Вычисление итогового выражения
Теперь мы можем вычислить искомое выражение:
[
|\vec{a} + \vec{b}| \cdot |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{37} \cdot \sqrt{13}
]
Это можно упростить в:
[
= \sqrt{37 \cdot 13}
]
Теперь вычисляем:
[
37 \cdot 13 = 481
]
Таким образом:
[
= \sqrt{481}
]
Ответ
Итак, окончательный результат:
[
|\vec{a} + \vec{b}| \cdot |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{481}
]
Если необходимо, можно оставить ответ в числовом виде (около 21.93) или оставить в корне.
