Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=1/x y=x^2 x=3 y=0

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми \( y = \frac{1}{x} \), \( y = x^2 \), прямой \( x = 3 \) и осью \( y = 0 \), воспользуемся интегрированием. Шаги решения следующие: ### Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых \( y = \frac{1}{x} \) и \( y = x^2 \). Мы приравниваем эти две функции: \[ \frac{1}{x} = x^2 \] Умножим обе стороны на \( x \) (при \( x \neq 0 \)): \[ 1 = x^3 \] Отсюда получаем: \[ x = 1 \] ### Шаг 2: Определим границы интегрирования. Наша фигура ограничена вертикальными линиями \( x = 1 \) и \( x = 3 \). Мы будем интегрировать от \( x = 1 \) до \( x = 3 \). ### Шаг 3: Выясним, какая функция выше на отрезке \( [1, 3] \). Подставляем несколько значений \( x \): - При \( x = 1 \): \( y = \frac{1}{1} = 1 \) и \( y = 1^2 = 1 \) - При \( x = 2 \): \( y = \frac{1}{2} = 0.5 \) и \( y = 2^2 = 4 \) - При \( x = 3 \): \( y = \frac{1}{3} \approx 0.33 \) и \( y = 3^2 = 9 \) Мы видим, что на интервале \( [1, 3] \) функция \( y = x^2 \) находится выше, чем \( y = \frac{1}{x} \). ### Шаг 4: Запишем интеграл для нахождения площади. Площадь фигуры можно выразить как разность интегралов вышеуказанных функций: \[ S = \int_{1}^{3} (x^2 - \frac{1}{x}) \, dx \] ### Шаг 5: Вычислим интеграл. Рассмотрим интеграл: \[ \int (x^2 - \frac{1}{x}) \, dx = \int x^2 \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx \] Первая часть: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Вторая часть: \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \] Таким образом, интеграл будет: \[ \int (x^2 - \frac{1}{x}) \, dx = \frac{x^3}{3} - \ln|x| + C \] Теперь подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - \ln|x| \right]_{1}^{3} \] Вычислим: 1. Для \( x = 3 \): \[ \frac{3^3}{3} - \ln(3) = \frac{27}{3} - \ln(3) = 9 - \ln(3) \] 2. Для \( x = 1 \): \[ \frac{1^3}{3} - \ln(1) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \] Теперь вычтем значения: \[ S = \left( 9 - \ln(3) \right) - \frac{1}{3} \] Приведем к общему виду: \[ S = 9 - \frac{1}{3} - \ln(3) = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} - \ln(3) = \frac{26}{3} - \ln(3) \] ### Ответ Таким образом, площадь фигуры равна: \[ S = \frac{26}{3} - \ln(3) \] Это выражение и будет искомой площадью области, ограниченной заданными линиями.