Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями : y=2x²; x=1; x=3; y=0 и построить график

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, давайте разберем шаги более подробно. ### Шаг 1: Построение графиков 1. **Функция \(y = 2x^2\)**: - Это парабола, открытая вверх, с вершиной в (0,0). - Для различных значений \(x\) вычислим \(y\): - При \(x = 0\), \(y = 2(0)^2 = 0\) - При \(x = 1\), \(y = 2(1)^2 = 2\) - При \(x = 2\), \(y = 2(2)^2 = 8\) - При \(x = 3\), \(y = 2(3)^2 = 18\) 2. **Вертикальные линии** \(x = 1\) и \(x = 3\): - Эти линии ограничивают область интегрирования по оси \(x\). 3. **Горизонтальная линия** \(y = 0\) (ось \(x\)): - Это ось абсцисс. ### Шаг 2: Определение области Область, которую мы будем анализировать, находится между: - \(x = 1\) и \(x = 3\) - Линией \(y = 2x^2\) сверху - Осью \(y = 0\) (или осью \(x\)) снизу. ### Шаг 3: Вычисление площади Площадь фигуры можно найти с помощью интегрирования. Мы будем интегрировать функцию \(y = 2x^2\) от \(x = 1\) до \(x = 3\) и вычитать значение \(y = 0\) (что равно нулю): \[ \text{Площадь} = \int_{1}^{3} (2x^2 - 0) \, dx = \int_{1}^{3} 2x^2 \, dx \] ### Шаг 4: Выполнение интегрирования 1. Найдем первообразную для \(2x^2\): \[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 + C \] 2. Теперь применим пределы интегрирования от 1 до 3: \[ \text{Площадь} = \left[ \frac{2}{3}x^3 \right]_{1}^{3} = \left( \frac{2}{3}(3^3) \right) - \left( \frac{2}{3}(1^3) \right) = \left( \frac{2}{3}(27) \right) - \left( \frac{2}{3}(1) \right) = \left( \frac{54}{3} \right) - \left( \frac{2}{3} \right) = 18 - \frac{2}{3} = \frac{54}{3} - \frac{2}{3} = \frac{52}{3} \] Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна: \[ \text{Площадь} = \frac{52}{3} \approx 17.33 \] ### Шаг 5: Построение графика График можно построить с помощью различных графических систем (например, Desmos, GeoGebra) или вручную. Построив график: - Отмечаем параболу \(y = 2x^2\). - Обозначаем линии \(x = 1\) и \(x = 3\). - Убедитесь, что область под параболой между этими вертикальными линиями и над осью \(x\) выделена. ### Итог Таким образом, мы нашли площадь фигуры, и шаги по построению графика показаны. Если вам нужна дополнительная помощь или есть другие вопросы, не стесняйтесь спрашивать!