Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями : y=2x²; x=1; x=3; y=0 и построить график

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, давайте разберем шаги более подробно.

Шаг 1: Построение графиков

1. Функция \(y = 2x^2\):

   • Это парабола, открытая вверх, с вершиной в (0,0).
   • Для различных значений \(x\) вычислим \(y\):
     • При \(x = 0\), \(y = 2(0)^2 = 0\)
     • При \(x = 1\), \(y = 2(1)^2 = 2\)
     • При \(x = 2\), \(y = 2(2)^2 = 8\)
     • При \(x = 3\), \(y = 2(3)^2 = 18\)

2. Вертикальные линии \(x = 1\) и \(x = 3\):

   • Эти линии ограничивают область интегрирования по оси \(x\).

3. Горизонтальная линия \(y = 0\) (ось \(x\)):

   • Это ось абсцисс.

Шаг 2: Определение области

Область, которую мы будем анализировать, находится между:

• \(x = 1\) и \(x = 3\)
• Линией \(y = 2x^2\) сверху
• Осью \(y = 0\) (или осью \(x\)) снизу.

Шаг 3: Вычисление площади

Площадь фигуры можно найти с помощью интегрирования. Мы будем интегрировать функцию \(y = 2x^2\) от \(x = 1\) до \(x = 3\) и вычитать значение \(y = 0\) (что равно нулю):

\[ \text{Площадь} = \int_{1}^{3} (2x^2 - 0) \, dx = \int_{1}^{3} 2x^2 \, dx \]

Шаг 4: Выполнение интегрирования

1. Найдем первообразную для \(2x^2\): \[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 + C \]

2. Теперь применим пределы интегрирования от 1 до 3: \[ \text{Площадь} = \left[ \frac{2}{3}x^3 \right]_{1}^{3} = \left( \frac{2}{3}(3^3) \right) - \left( \frac{2}{3}(1^3) \right) = \left( \frac{2}{3}(27) \right) - \left( \frac{2}{3}(1) \right) = \left( \frac{54}{3} \right) - \left( \frac{2}{3} \right) = 18 - \frac{2}{3} = \frac{54}{3} - \frac{2}{3} = \frac{52}{3} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна:

\[ \text{Площадь} = \frac{52}{3} \approx 17.33 \]

Шаг 5: Построение графика

График можно построить с помощью различных графических систем (например, Desmos, GeoGebra) или вручную. Построив график:

• Отмечаем параболу \(y = 2x^2\).
• Обозначаем линии \(x = 1\) и \(x = 3\).
• Убедитесь, что область под параболой между этими вертикальными линиями и над осью \(x\) выделена.

Итог

Таким образом, мы нашли площадь фигуры, и шаги по построению графика показаны. Если вам нужна дополнительная помощь или есть другие вопросы, не стесняйтесь спрашивать!