Решите поэтапно
Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \]
где \(a\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель прогрессии, \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов.
Дано:
- Сумма первых трёх членов: \(S_3 = 28\)
- Знаменатель прогрессии: \(q = \frac{1}{2}\)
Нужно найти сумму первых семи членов (\(S_7\)).
Шаг 1: Найдем первый член \(a\)
Запишем сумму первых трех членов:
\[ S_3 = a + aq + aq^2 = a(1 + q + q^2) \]
Подставим известные значения:
\[ a \left(1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right) = 28 \]
\[ a \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) = 28 \]
\[ a \cdot \frac{7}{4} = 28 \]
Разделим обе стороны уравнения на \(\frac{7}{4}\):
\[ a = 28 \cdot \frac{4}{7} \]
\[ a = 16 \]
Шаг 2: Найдём сумму первых семи членов
Теперь подставим значения \(a\) и \(q\) в формулу \(S_7\):
\[ S_7 = 16 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^7 - 1}{\frac{1}{2} - 1} \]
Вычислим \(\left(\frac{1}{2}\right)^7\):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{1}{128} \]
Теперь подставим в формулу:
\[ S_7 = 16 \cdot \frac{\frac{1}{128} - 1}{\frac{1}{2} - 1} \]
\[ S_7 = 16 \cdot \frac{\frac{1}{128} - \frac{128}{128}}{-\frac{1}{2}} \]
\[ S_7 = 16 \cdot \frac{-\frac{127}{128}}{-\frac{1}{2}} \]
\[ S_7 = 16 \cdot \frac{-127}{-64} \]
\[ S_7 = 16 \cdot \frac{127}{64} \]
\[ S_7 = 16 \cdot 1.984375 \]
\[ S_7 ≈ 31.75 \]
Ответ: сумма первых семи членов этой прогрессии приблизительно равна 31.75.
