Решите поэтапно

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \] где \(a\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель прогрессии, \(S_n\) — сумма первых \(n\) членов. ### Дано: - Сумма первых трёх членов: \(S_3 = 28\) - Знаменатель прогрессии: \(q = \frac{1}{2}\) Нужно найти сумму первых семи членов (\(S_7\)). ### Шаг 1: Найдем первый член \(a\) Запишем сумму первых трех членов: \[ S_3 = a + aq + aq^2 = a(1 + q + q^2) \] Подставим известные значения: \[ a \left(1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right) = 28 \] \[ a \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) = 28 \] \[ a \cdot \frac{7}{4} = 28 \] Разделим обе стороны уравнения на \(\frac{7}{4}\): \[ a = 28 \cdot \frac{4}{7} \] \[ a = 16 \] ### Шаг 2: Найдём сумму первых семи членов Теперь подставим значения \(a\) и \(q\) в формулу \(S_7\): \[ S_7 = 16 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^7 - 1}{\frac{1}{2} - 1} \] Вычислим \(\left(\frac{1}{2}\right)^7\): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{1}{128} \] Теперь подставим в формулу: \[ S_7 = 16 \cdot \frac{\frac{1}{128} - 1}{\frac{1}{2} - 1} \] \[ S_7 = 16 \cdot \frac{\frac{1}{128} - \frac{128}{128}}{-\frac{1}{2}} \] \[ S_7 = 16 \cdot \frac{-\frac{127}{128}}{-\frac{1}{2}} \] \[ S_7 = 16 \cdot \frac{-127}{-64} \] \[ S_7 = 16 \cdot \frac{127}{64} \] \[ S_7 = 16 \cdot 1.984375 \] \[ S_7 ≈ 31.75 \] Ответ: сумма первых семи членов этой прогрессии приблизительно равна 31.75.