реши задачу

Для решения задачи найдем наименьшее натуральное число \( n \), при котором выражение

\[ \sqrt{41 + \sqrt{n}} + \sqrt{41 - \sqrt{n}} \]

является целым числом.

Обозначим это целое число через \( k \). Тогда можем записать:

\[ \sqrt{41 + \sqrt{n}} + \sqrt{41 - \sqrt{n}} = k \]

Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

\[ \left(\sqrt{41 + \sqrt{n}} + \sqrt{41 - \sqrt{n}}\right)^2 = k^2 \]

Раскрываем скобки:

\[ 41 + \sqrt{n} + 41 - \sqrt{n} + 2\sqrt{(41 + \sqrt{n})(41 - \sqrt{n})} = k^2 \]

Это упрощается до:

\[ 82 + 2\sqrt{41^2 - n} = k^2 \]

А теперь выражаем корень:

\[ 2\sqrt{41^2 - n} = k^2 - 82 \]

\[ \sqrt{41^2 - n} = \frac{k^2 - 82}{2} \]

\[ 41^2 - n = \left(\frac{k^2 - 82}{2}\right)^2 \]

\[ n = 41^2 - \left(\frac{k^2 - 82}{2}\right)^2 \]

Теперь изменим значение \( k \), чтобы \( n \) было натуральным. Нужно, чтобы правая часть также была натуральным числом. Начнем с \( k = 10 \):

\[ n = 41^2 - \left(\frac{10^2 - 82}{2}\right)^2 \]

\[ n = 1681 - \left(\frac{100 - 82}{2}\right)^2 \]

\[ n = 1681 - \left(\frac{18}{2}\right)^2 \]

\[ n = 1681 - 9^2 \]

\[ n = 1681 - 81 \]

\[ n = 1600 \]

1600 является натуральным числом. Следовательно, наименьшее натуральное \( n = 1600 \).