Для решения задачи найдем наименьшее натуральное число ( n ), при котором выражение
[
\sqrt{41 + \sqrt{n}} + \sqrt{41 - \sqrt{n}}
]
является целым числом.
Обозначим это целое число через ( k ). Тогда можем записать:
[
\sqrt{41 + \sqrt{n}} + \sqrt{41 - \sqrt{n}} = k
]
Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:
[
\left(\sqrt{41 + \sqrt{n}} + \sqrt{41 - \sqrt{n}}\right)^2 = k^2
]
Раскрываем скобки:
[
41 + \sqrt{n} + 41 - \sqrt{n} + 2\sqrt{(41 + \sqrt{n})(41 - \sqrt{n})} = k^2
]
Это упрощается до:
[
82 + 2\sqrt{41^2 - n} = k^2
]
А теперь выражаем корень:
[
2\sqrt{41^2 - n} = k^2 - 82
]
[
\sqrt{41^2 - n} = \frac{k^2 - 82}{2}
]
[
41^2 - n = \left(\frac{k^2 - 82}{2}\right)^2
]
[
n = 41^2 - \left(\frac{k^2 - 82}{2}\right)^2
]
Теперь изменим значение ( k ), чтобы ( n ) было натуральным. Нужно, чтобы правая часть также была натуральным числом. Начнем с ( k = 10 ):
[
n = 41^2 - \left(\frac{10^2 - 82}{2}\right)^2
]
[
n = 1681 - \left(\frac{100 - 82}{2}\right)^2
]
[
n = 1681 - \left(\frac{18}{2}\right)^2
]
[
n = 1681 - 9^2
]
[
n = 1681 - 81
]
[
n = 1600
]
1600 является натуральным числом. Следовательно, наименьшее натуральное ( n = 1600 ).
